Unidad 7: Estadística y Probabilidad

LA ESTADÍSTICA

La Estadística se ocupa de la recolección, agrupación, presentación, análisis e interpretación de datos.
La Estadística no son sólo los resultados de encuestas, ni el cálculo de unos porcentajes, la Estadística es un método científico que pretende sacar conclusiones a partir de unas observaciones hechas.

POBLACIÓN Y MUESTRA

La Población es un conjunto finito o infinito de elementos, denominados individuos, sobre los cuales se realizan observaciones. Pueden ser personas, animales, cosas…..

Una muestra es una parte de la población cuyo estudio sirve para sacar conclusiones de toda la población. El número de individuos que forman la muestra se denomina tamaño muestral.

VARIABLES ESTADÍSTICAS

Variable o carácter: cada una de las características que pueden observarse en un individuo de la muestra. Ejemplos: en una muestra de una población de seres humanos podemos medir: la altura, la edad, el peso, el sexo, número de hermanos…; en una muestra de una población de una especie de tortugas podemos medir: la anchura del caparazón, la longitud del caparazón, la edad…;

Tipos:
Carácter cualitativo: Pueden tomar valores no cuantificables numéricamente. Se denomina categoría a cada uno de los valores que toma la variable.
Ejemplo: el color de los ojos (azules, verdes, marrones, negros),…

A su vez se pueden clasificar en:

• Ordenables: Aquellas que sugieren una ordenación o son susceptibles de ella, por ejemplo: la graduación militar, El nivel de estudios, grado de satisfacción, etc.
• No ordenables: Aquellas que sólo admiten una mera ordenación alfabética, pero no establece orden por su naturaleza, por ejemplo: el color de pelo, sexo o estado civil.

Carácter cuantitativo o numéricas: Aquel que se puede medir. Se clasifican en:

• Cuantitativo discreto. si solamente toman valores aislados. Son el resultado de un recuento. Ejemplos: el número de hermanos, el número de cafés/día, etc.
• Cuantitativo continuo. potencialmente puede tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo o de una unión de intervalos. Es el resultado de una medida (altura, peso, etc….). Ejemplos: el tiempo de reacción a un cierto medicamento, el peso de un individuo, la altura de los siguientes edificios o torres…

TABULACIÓN

Realizar una tabulación consiste en elaborar tablas simples, fáciles de leer y que de manera general ofrezcan una acertada visión de las características más importantes de la distribución. Dependiendo del tipo de carácter o variable la tabulación debe reunir algunos requisitos importantes.

Tabulación para carácter cualitativo
En los casos de carácter cualitativo, la tabulación de los datos es muy simple. Las tres columnas a construir que tienen sentido hacen referencia a:

• El valor de los atributos.
• La frecuencia absoluta.
• La frecuencia relativa.

En los casos en los que se desee expresar el porcentaje en lugar de la frecuencia relativa o acompañando a dicha frecuencia relativa, simplemente debes:

Basta con multiplicar la frecuencia relativa por 100 la frecuencia relativa.

Tabulación para variable cuantitativa discreta

En los casos correspondientes a variable cuantitativa discreta, la tabulación se realiza de acuerdo a las siguientes pautas.
Los valores obtenidos se ordenan, especifican y agrupan de tal forma que sea fácil y directa la aportación de información, así como la búsqueda de alguno de los datos.
Las primeras columnas que deben aparecer en la tabulación de variable cuantitativa discreta serán:

• Valores de la variable.
• Frecuencias absolutas.
• Frecuencias relativas.
• Frecuencias absolutas acumuladas.
• Frecuencias relativas acumuladas.

En algunos casos se puede utilizar el porcentaje en lugar de las frecuencias relativas o además de las frecuencias relativas.

Tabulación para variable cuantitativa continua:
La tabulación se realiza de acuerdo a las siguientes pautas:

• Los valores obtenidos se ordenan, se tienen en cuenta el valor máximo y mínimo para elegir la amplitud, a ser posible la misma para todos, y el número de intervalos que englobarán a los valores de la variable.
• El criterio para considerar un dato dentro de un intervalo será que el valor debe ser mayor o igual que el extremo inferior del intervalo e inferior al extremo superior del intervalo.
• Las primeras columnas que deben aparecer en la tabulación de variable cuantitativa continua serán:
  • Valores de los intervalos elegidos.
  • Frecuencias absolutas, recuento de datos y asignación de cada valor a su correspondiente intervalo.
  • Frecuencias relativas. Frecuencias absolutas acumuladas. Frecuencias relativas acumuladas.

En algunos casos se puede utilizar el porcentaje en lugar de las frecuencias relativas o además de las frecuencias relativas.

FRECUENCIAS Y RECUENTO

Tablas de frecuencias:
En un estudio estadístico, una vez obtenidos los datos hay que recontar, ordenar y tabularlos, esto es, colocarlos en tablas en las que se aprecie información sobre las frecuencias de cada valor o cada cualidad de la variable. Por ejemplo, si estamos estudiando las notas de Matemáticas de 30 alumnos (N) de 1º de la ESO habríamos de proceder de una forma parecida a la siguiente:

Frecuencia absoluta es el número de individuos para los que la variable toma ese valor. Es decir número de veces que aparece cada valor (xi) de la variable (p. ej., la frecuencia de la nota 7 en este ejemplo es 4). La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número total de datos (N). Se representa por n_i
Frecuencia relativa es el resultado de dividir la frecuencia absoluta entre el número total de datos (N):
La suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad. La frecuencia relativa se puede convertir en porcentaje multiplicándola por 100. Así, p. ej., el porcentaje de alumnos que han obtenido un 7 en Matemáticas es del 13 % (0,13 · 100). Se representa por f_i. Se calcula f_i= n_i /N
Frecuencia absoluta acumulada N_i
Frecuencia relativa acumulada F_i  Se calcula F_i= N_i /N

 Ejemplo: el número de tornillos defectuosos que se han obtenido por término medio en 10 cajas envasadas en una fábrica han sido: 2, 5, 3, 6, 2, 3, 2, 5, 4 ,3

1. a) Clasifica el carácter
2. b) Haz una tabla de frecuencias absolutas, relativas, absoluta acumulada, relativa acumulada.  

Fichas de Trabajo

Ficha 1 – Repasa: Población y muestra – Anónimo (1 pg)
Ficha 2 – Tema 2: Muestreo. Estadística aplicada a las Ciencias Sociales por José María Martínez Mediano en www.matematicasjmmm.com (2 pgs)
Ficha 3 – Ejercicios – Anónimo (3 pgs)
Ficha 4 – Ejercicios de Frecuencias Absolutas, relativas y acumuladas – Anónimo (4 pgs)
Ficha 5 – Actividades de Refuerzo: Estadística de 1º de ESO – Anónimo (1 pg)
Ficha 6 – Tabla de frecuencias – Anónimo (1 pg)

Videos Educativos:

Conceptos básicos de estadística por el profe Alex
Diferencia entre población y muestra por math2me
Estadística: Conceptos Básicos por Alazapa – Tutoriales.
Población & muestra. Presentación en pdf elaborada por Patricio Suárez Gil de
La Fresneda (Asturias),
Tabla de frecuencias: Estadística #1 por Susi profe

Software Educativo:

Estadística de 1º de ESO – Descartes.
Estadística de 1º de ESO de Recursos Educativos en el Proyecto Medusa / Canarias

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Webs consultadas: https://www.profesor10demates.com/ ; http://halweb.uc3m.es/esp/ ;

PARÁMETROS DE UNA GRÁFICA

Para facilitar las características de los datos que estamos estudiando. Se suelen utilizar los llamados valores centrales, que son: Media aritmética, Mediana y Moda.

Media Aritmética
Es la medida de posición central más utilizada. La media aritmética se calcula sumando todos los valores obtenidos de la variable estudiada y dividiéndolos por el número de datos que haya. La media se representa con la letra x y una rayita encima. Lógicamente, la media sólo se puede calcular con datos cuantitativos. Para calcularla se utiliza la siguiente expresión:

Ejemplo 1:
Las notas de Matemáticas de un alumno de 1º de ESO en la 3ª evaluación han sido éstas: 7, 6, 5, 8. ¿Cuál es su nota media?

Ejemplo 2:
Calcular la media aritmética de las notas de Matemáticas de 30 alumnos (N) de 1º de la ESO que aparecen en esta tabla de frecuencias:

Mediana o valor medio.
La mediana es el dato que ocupa la posición central o intermedia de la distribución, está después del 50% de los datos y precediendo al otro 50%. Para calcularla, primero deberemos de ordenar todos los datos de menor a mayor.
Si el número de datos es impar, sólo habrá uno en el medio. Si es par, habrá dos que ocupen el lugar central y habremos de hallar la media aritmética de ambos.
Ejemplo 1:

1.- Supongamos que un alumno ha obtenido las siguientes notas en los exámenes de Matemáticas que ha realizado en el curso:
5, 6, 4, 7, 8, 8, 9, 7, 9, 5, 7
Ordenamos estos valores de menor a mayor y observamos el valor que ocupa la posición central:
4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9
La mediana es Me = 7.
Si el número de datos es par, se toma como mediana la media aritmética de los datos que ocupan la posición central.
2.- Ahora queremos hallar la mediana de las notas obtenidas por los alumnos de un grupo en un examen. Las notas están agrupadas:

Cómo hay 25 datos, el dato central es el que ocupa el lugar 13, que pertenece al valor cuya frecuencia acumulada es mayor que 13, es decir la tercera fila de datos de la tabla. Por tanto, Me =6

Ejemplo 2:
Al tirar un dado 16 veces se han obtenido los valores (puntuaciones) de la siguiente tabla. Calcula la Mediana.

Como el número de datos es par, N = 16,

Moda o recorrido
La moda es el valor de la variable que tiene más frecuencia, es decir, que se ha obtenido más veces. Hay moda tanto en las variables cuantitativas como en las cualitativas.
La moda se utiliza cuando no conviene o no se puede calcular ni la media y ni la mediana. Podemos tener distribuciones unimodales, bimodales,…

Ejemplo 1: Se ha preguntado a 30 alumnos de una clase de 1º de ESO qué estación del año preferían: Primavera (P), Verano (V), Otoño (O) o Invierno (I). Los resultados han sido los recogidos en esta tabla:

¿Cuál es la moda?
Respuesta: La moda es Verano (la estación preferida por los alumnos, la que mayor frecuencia absoluta tiene).

GRAFICOS ESTADÍSTICOS

Las representaciones gráficas deben conseguir que un simple análisis visual ofrezca la mayor información posible. Según el tipo del carácter que estemos estudiando, usaremos una representación gráfica u otra.

Diagrama de barras
Es un gráfico sobre ejes cartesianos en el que distribuimos en el eje X o eje de abscisa:
 Las modalidades si el carácter es cualitativo
 Los valores si la variable es no agrupada
Sobre ellos se levantan barras o rectángulos de igual base (que no se solapen) cuya altura sea proporcional a sus frecuencias. También pueden representarse horizontalmente, intercambiando los ejes. Las barras se colocan en unos ejes de coordenadas: en el eje de las abscisas se ponen los valores de la variable y en el eje de ordenadas su frecuencia.

Ejemplo 1. Un estudio hecho en un conjunto de 25 varones con objeto de determinar su grupo sanguíneo ha conducido a los siguientes resultados:

Histogramas
Se utiliza con variables agrupadas en intervalos, representando en el eje X los intervalos de clase y levantando rectángulos contiguos de base la longitud de los distintos intervalos y de altura tal que el área sea proporcional a las frecuencias representadas.

Ejemplo:
El número de personas que viven en cada uno de los portales de una gran barriada es:

En este caso, todos los intervalos son de la misma longitud, por lo que la altura de cada rectángulo coincide con la frecuencia.
Cuando se realizan representaciones correspondientes a edades de población, cambiamos el eje Y por el eje X para obtener las llamadas pirámides de población, que no son más que 2 histogramas a izquierda y derecha, para hombres y mujeres. Veamos un ejemplo:

Gráfico o Diagrama de sectores
Un diagrama de sectores consiste en representar los valores o cualidades de la variable en sectores circulares.
La amplitud o área de cada sector ha de ser proporcional a la frecuencia de cada valor (para ello se dividen los 360º de la circunferencia entre el número total de datos, N, para saber cuántos grados corresponden a cada dato, y el resultado se va multiplicando por cada frecuencia absoluta de los respectivos valores de la variable). Se utilizan si el carácter es cualitativo o cuantitativo discreto no agrupado.

Ejemplo 1:
La amplitud de cada sector se obtiene multiplicando la frecuencia relativa del valor de la variable por 360.

Ejemplo 2:
Se ha preguntado a 30 alumnos de una clase de 1º de ESO qué estación del año preferían: Primavera (P), Verano (V), Otoño (O) o Invierno (I). Los resultados han sido éstos:

P, V, V, P, O, O, V, V, I, P, I, P, I, O, V, V, V, I, O, P, P, V, V, O, O, P, V, V, V, P.

Tabula los datos en una tabla de frecuencias y representa los resultados en un diagrama de sectores.

Webs consultadas: http://www.miprofe.com; https://www.superprof.es/ ;  http://deecuacionesdeprimergrado.blogspot.com/ ;

FICHAS DE TRABAJO

Ficha 1 – Ejercicios de Diagramas – Tema 15 de Estadística de la Editorial Anaya – 1º ESO. (30 pgs)
Ficha 2 – Estadística – Anónimo (2 pgs)
Ficha 3 – Ejercicios de Estadística – Anónimo (2 pgs)
Ficha 4 – Actividades de la media y la moda de MatematicasIES.com
Ficha 5 – Métodos de investigación en educación: Cuaderno de ejercicios – curso 2009/2010 (10 pgs)
Ficha 6 – Ejercicios de Estadística de Superprof.es (1 pg)

VIDEOS EDUCATIVOS

Gráficos estadísticos, diagrama de barras, histograma, diagrama de sectores. Estadística descriptiva por shurprofe.
Media, mediana y moda. Datos agrupados en intervalos por Matemáticas profe Alex.
Media, mediana y moda superfacil. Medidas de tendencia central por Daniel Carreon.
Media y moda. Video educativo de estadística por Mundo Primaria.
Representación gráfica de datos estadísticos por Diplomas UCC de la Univ. de Antiquia (Colombia)
¿Qué es la moda, media y mediana? por Maestro TV SNTE
Tipo de gráficos estadísticos por Misión Admisión.

SOFTWARE EDUCATIVO

Diagrama de Barres (catalán) en Genmagic.
Estadística por Educarex – Junta de Extremadura software en LIM.
Interpretar gráficas de Genmagic (descarga)

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Al extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda, tirar un dado, y en otros ejemplos análogos, no podemos saber de antemano el resultado que se va a obtener. Son experimentos aleatorios, aquellos en los que no se puede predecir el resultado y de ellos se trata aquí.
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral, y cada uno de esos posibles resultados es un suceso elemental.
• Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, se verifica cuando ocurre cualquiera de los sucesos elementales que lo forman. Hay un suceso que se verifica siempre, el suceso seguro que es el mismo espacio muestral.
La probabilidad de que se dé el suceso A o B es la de la unión o AUB; la de que se den A y B es la de la intersección o A I B.
Se dice que un suceso A es más probable que otro B. si al realizar el experimento muchas veces, A ocurre significativamente más veces que B.

Ejemplo: Si lanzamos un dado dos veces ¿cuál será el espacio muestral? ¿Y si se extraen bolas de una urna? En estos casos los diagramas de árbol nos ayudan a determinar los sucesos elementales. En el ejemplo calculamos los sucesos elementales que resultan al lanzar dos veces una moneda.

La secuencia de imágenes nos muestra la frecuencia relativa de algunos sucesos al tirar el dado 20, 1020 o 100000 veces.

Los posibles sucesos elementales al tirar el dado tienen prácticamente igual frecuencia relativa cuando realizamos más de 100000 tiradas. Las frecuencias relativas no varían significativamente al aumentar el número de tiradas después de realizar un gran número de ellas.
¿Estarías de acuerdo, a la vista de los resultados, en decir que la probabilidad de sacar un 2 es 1/6?
La probabilidad se mide entre 0 (probabilidad del suceso imposible) y 1 o 100% (probabilidad del suceso seguro).
¿Y en 1020 tiradas?:

Unión e Intersección de sucesos
La unión de sucesos equivale a la disyunción «o», es decir, si A es el suceso «sacar par» al tirar el dado y B es el suceso «sacar un múltiplo de 3»,
A={2, 4, 6} B={3, 6}

el suceso unión, AUB, se verifica cuando ocurre A o B AUB={2, 3, 4, 6}.
La intersección equivale a la conjunción “y” A B={6}

Diagrama de árbol
Si lanzamos un dado dos veces ¿cuál será el espacio muestral? ¿Y si se extraen bolas de una urna? En estos casos los diagramas de árbol nos ayudan a determinar los sucesos elementales.
En el ejemplo calculamos los sucesos elementales que resultan al lanzar dos veces una moneda.

Ley de Laplace
Cuando en un experimento aleatorio todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad, equiprobables, para calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el cociente entre el nº de sucesos elementales que componen A (casos favorables) y el nº de sucesos elementales del espacio muestral (casos posibles) espacio.

Este resultado se conoce como regla de Laplace.
Recuerda que para poder aplicarla es necesario que todos los casos posibles sean igualmente probables.

Recuerda que la probabilidad de Laplace solo se puede aplicar cuando los sucesos elementales son equiprobables.

Documentación utilizada: Matemáticas 1º de ESO de Cidead;

Fichas de Trabajo

Ficha 1- Ejercicios de probabilidad – MatematicasIES (2 pgs)
Ficha 2 – Ejercicios de Repaso de Matematicas de 1º de ESO (ejercicios 13 a 20) (2 pgs)
Ficha 3 – Suceso elemental, suceso seguro de Santillana Educación (1 pg)
Ficha 4 – Calcular la probabilidad de un suceso de Santillana Educación (2 pgs)
Ficha 5 – Tema 9: Estadística y probabilidad – Anónimo (2 pgs)
Autoevaluación de Estadística y Probabilidad de Cidead (1 pg)

Videos Educativos.

Estadística y probabilidad 1. ¿Qué es la estadística? – 1º ESO de Sensei de las Mates.
La regla de Laplace por unProfesor
Probabilidad superfacil de Daniel Carreon.
Probabilidades: Diagrama de árbol – Ejercicios Resueltos de Matemóvil

Software Educativo

Azar y probabilidad por Ana García López y Manuel Martínez Díaz.
Estadística para todos. Para practicar Simulaciones.
Estadística 1º de ESO por el Proyecto Medusa.

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