Un sistema de ejes coordenados (o cartesianos) está formado por dos ejes numéricos perpendiculares, uno horizontal, llamado de abscisas y otro vertical o de ordenadas.
El punto en el que se cortan los ejes es el origen de coordenadas. Dicho punto se representa mediante un par ordenado de coordenadas cartesianas (x,y).
Ambos ejes se cortan en un punto llamado origen o centro de coordenadas y se denota por O.
EJES CARTESIANOS
Coordenadas de un punto
En la imagen de este apartado aparecen varios puntos en el plano y unos ejes cartesianos donde se visualizan las coordenadas cartesianas de cada punto.
La posición de un punto A en el plano cartesiano queda determinado por un par de números reales (a; b) (2,3), donde Los números a y b reciben el nombre de coordenadas del punto A.
La primera coordenada, a, recibe el nombre de abscisa de A. La segunda coordenada, b, recibe el nombre de ordenada de A.
La abscisa de A corresponde a la distancia dirigida de A al eje Y. La ordenada de A corresponde a la distancia dirigida de A al eje X.
Observa que las coordenadas de un punto son un par ordenado de valores.
• La primera coordenada o abscisa de un punto nos indica la distancia a la que dicho punto se encuentra del eje vertical.
• La segunda coordenada u ordenada indica la distancia a la que se encuentra el punto del eje horizontal.
Interpretar gráficas de puntos
En la imagen de debajo se ve un ejemplo de gráfica cartesiana. Cada punto de la gráfica está relacionado con la edad y la altura de las personas que hacen cola para entrar en un cine.
¿Cómo se interpreta el gráfico superior?
- Diana es la más alta ya que el punto que la representa está más a la derecha. Antonio es el de mayor edad puesto que el punto que lo representa es el que se encuentra más arriba en la gráfica.
- Así mismo puedes ver que Blanca e Inés tienen la misma estatura ya que sus puntos están a la misma distancia del eje de ordenadas; y Blanca y Félix tienen la misma edad ya que sus puntos se encuentran a la misma distancia del eje de abscisas.
- El más bajito sería Julio y Elena es la más joven de todas las personas de la fila.
En la siguiente gráfica se describe el recorrido realizado por un ciclista y, a diferencia de las dos anteriores, no se trata de puntos aislados sino que es una línea continua:
- El ciclista empieza su recorrido y a las dos horas se encuentra a 40 km.
- Recorre 20 km más pero volviendo hacia atrás.
- Vuelve a alejarse 10 km y se para a descansar durante una hora.
- Finalmente se vuelve a montar en su bicicleta y regresa al punto de partida tardando en esa última parte del recorrido, de 30 km, dos horas.
TABLAS, PARES ORDENADOS Y GRÁFICAS
Tablas de valores
En muchas ocasiones tendremos conjuntos de datos que nos vengan dados de diferentes formas: expresión verbal, una fórmula o ecuación,… por lo que debemos de escribir dichos datos dentro de una tabla, lo que nos facilitará su interpretación y representación gráfica.
Una tabla de valores es una tabla donde situamos ordenadamente las cantidades correspondientes de dos magnitudes relacionadas.
Conozcamos los pasos a seguir para construir una tabla de doble entrada:
Ejemplo 1:
En un club deportivo cuentan con 200 socios. De ellos 20 practican natación, 35 practican fútbol, 15 practican voleibol, 40 practican baloncesto, 30 practican atletismo, 10 practican tenis, 24 practican balonmano y 26 practican gimnasia.
La tabla tendrá 2 columnas y 9 filas. En las celdas de la primera fila escribimos los tipos de datos que aparecerán en cada columna. En las celdas de la primera columna escribimos el nombre de los deportes que se practican.
En las celdas de la segunda columna con el número de practicantes de cada deporte. Ese número deberá corresponder con el deporte que haya escrito en la celda contigua de la primera columna. Al final deberemos tener una tabla similar a la que aparece al lado.
Ejemplo 2:
La siguiente tabla nos indica el número de alumnos que consiguen una determinada nota en un examen:
De la tabla a la gráfica
Pero en otras ocasiones necesitaremos que los datos recogidos en una tabla sean representados gráficamente sobre unos ejes de coordenadas. Para ello primero dibujaremos un sistema de ejes coordenados sobre el que, posteriormente, representaremos los datos.
Una vez que hemos dibujado los ejes y marcados los valores correspondientes tanto en el eje de abscisas como en el eje de coordenadas, es cuando comenzaremos a situar los puntos que representarán los datos dados.
Observa: Nos situamos en el primer punto de X dado en la tabla y subimos una altura igual a su correspondiente valor de Y, así obtenemos el primer punto de la gráfica.(0,6) Repetimos el proceso con cada pareja de valores de la tabla.
De la tabla a la gráfica
Veamos ahora el proceso inverso: nos dan una gráfica cartesiana y debemos construir la tabla de datos representada en dicha gráfica.
Fíjate en la gráfica del margen. A partir de las coordenadas de los puntos representados podremos construir la correspondiente tabla de datos. El proceso es idéntico al empleado en el segundo ejercicio del primer apartado de esta quincena.
Proceso: el primer punto de la gráfica (el más a la izquierda), trazamos una paralela al eje Y hasta llegar al eje X y una paralela al eje X hasta el eje Y.
Estas paralelas, al cortar con cada uno de los ejes, nos dará los siguientes valores X e Y (coordenadas) del punto. Anotamos los valores en la tabla de valores y continuamos el proceso con los demás, hasta llegar al último punto (el situado más hacia la derecha).
Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla. Las gráficas describen relaciones entre dos variables:
- La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x.
- La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y.
- La variable y está en función de la variable x.
Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones. Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x.
A modo de ejemplo En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de patatas el precio se va incrementando.
Tipos de Gráficas:
Gráfica creciente.
Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente aumenta la otra variable. (Ver la gráfica anterior).
Gráfica decreciente.
Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente disminuye la otra variable.
Gráfica constante.
Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la otra permanece invariable.
Una gráfica puede tener a la vez partes crecientes y decrecientes.
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Videos
Cómo ubicar puntos en el plano cartesiano por el profe Alex.
El plano cartesiano (intro y ubicación de puntos) por Aprendópolis
Plano Eje cartesiano – superfacil de Daniel Carreón.
Plano Cartesiano. Conceptos básicos por Eliezer de León.
Tablas y gráficas I por matemáticas sin más.
Fichas de Trabajo
Ficha 1 – Tablas y gráficas / Eje Cartesiano – Mates 1º de ESO de Cidead – Página 1 – Página 2 – Página 3.
Ficha 2 – Buscando puntos en el eje cartesiano por Fundación Gabriel &Mary Mustakis (Chile) – (2 pgs)
Ficha 3 – Representar figuras en los ejes – de Mates – Página 1 – Página 2.
Ficha 4 – Ejercicios de tablas de coordenadas – Anónimo (6 pgs)
Ficha 5 – Interpretar gráficas por Matemáticas en el día a día (4 pgs)
Ficha 6 – Tipos de gráficas por Matemáticas en el día a día (4 pgs)
Software educativo:
Representa en coordenadas por genmagic
Sistema de referencia cartesiano I por genmagic
Web y Documentos consultados:
Una función es una correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera magnitud le corresponde un solo valor de la segunda. Para indicar que una magnitud (y) depende o es función de otra (x) se utiliza la notación y = f (x), que se lee “y es función de x”.
El dominio o campo de existencia de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x (variable que se fija previamente).
La imagen o recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y (variable que se deduce de la variable independiente).
Ejemplo.-
Dada la función f que asocia a cada número real su doble:
a) Escribe su expresión algebraica.
b) Calcula las imágenes de 1, 2 y 3, es decir, f (1), f (2) y f (3).
c) Halla el dominio y su imagen.
d) La expresión algebraica la notamos por y = 2x, o también por f (x) = 2x.
e) f (1) = 2 × 1 = 2 ; f (2) = 2 × 2 = 4 ; f (3) = 2 × 3 = 6.
TABLAS Y FUNCIONES
En una tienda de fotografías se puede ver la siguiente tabla con los precios de revelado según el número de fotos.
Vamos a representar la gráfica de esta función dada por la tabla. Para ello, representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas y obtenemos distintos puntos de la gráfica.
El conjunto de puntos es la gráfica de la función dada por la tabla.
En la anterior gráfica, la variable independiente sólo puede tomar valores naturales y la representación gráfica es una serie de puntos. Decimos que se trata de una función discontinua.
En este otro caso, la variable independiente puede tomar cualquier valor real positivo y la representación gráfica es una línea continua. Se trata ahora de una función continua.
Una función y = f (x) tiene un máximo en un punto x = x0 si, en valores próximos a él, a la izquierda de ese punto la función es creciente y a la derecha de ese punto la función es decreciente; esto es, si los valores próximos a él que toma la función son menores.
Una función y = f (x) tiene un mínimo en un punto x = x0 si, en valores próximos a él, a la izquierda de ese punto la función es decreciente y a la derecha de ese punto la función es creciente; esto es, si los valores próximos a él que toma la función son mayores.
El punto x0 tiene mayor ordenada, f (x0), que los otros
El punto x0 tiene menor ordenada, f (x0), que otros
Si la función presenta varios máximos y mínimos, debemos hablar de los siguientes conceptos asociados:
· Una función y = f (x) tiene un máximo (mínimo) absoluto en un punto x = x0 si los valores que toma la función son todos menores (mayores) que su imagen f (x0).
· Una función y = f (x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x = x0 si los valores próximos a él que toma la función son todos menores (mayores) que su imagen f (x0).
Ejemplo.-
A partir de la siguiente gráfica (muestra el perfil de una etapa de la Vuelta Ciclista a España) estudia el crecimiento y decrecimiento de la función y los máximos y mínimos.
· La función es creciente en los intervalos [0, 50), (75, 150) y (175, 200).
· La función es decreciente en los intervalos (50, 75), (150, 175) y (200, 225].
· Presenta un máximo absoluto en x = 200 (1.500 m es la altitud máxima) y un mínimo absoluto en x = 75 (300 m es la altitud mínima).
· Los máximos relativos los alcanza en los puntos x = 50 (900 m de altitud) y x = 150 (1.200 m de altitud).
· Los mínimos relativos los alcanza en los puntos x = 0 (600 m de altitud), x = 175 (600 m de altitud) y x = 225 (900 m de altitud).
FUNCIONES MEDIANTE ECUACIONES
Ejemplo: observa la simetría de la siguiente gráfica según la función y = x2
La gráfica de la función y = x2 tiene como eje de simetría al eje de ordenadas Y.
Los puntos A y A’, B y B’, C y C’ son simétricos respecto del eje Y. El punto O es simétrico de sí mismo.
Si doblásemos esta gráfica por el eje Y, las dos partes en que queda dividida coincidirían.
Un punto cualquiera de la gráfica, P(x, x2), tiene como simétrico P’(-x, x2), que también está en la gráfica, ya que:
f (-x) = (-x)2 = x2 = f (x) Þ f (-x) = f (x)
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES
Una de las cosas que debemos tener claro para entender la representación gráfica de las ecuaciones es saber que es una recta. Una recta es una línea que une dos puntos en el espacio, en matemáticas éste es un sistema coordenado, que en nuestro caso es el cartesiano (dos dimensiones x, y), formado por la intersección de dos rectas reales, llamadas “eje x” y “eje y”.
La representación gráfica de una ecuación se realiza al resolver dichas ecuaciones, hallando los valores de las variables y luego sustituyendo para si poder construir una grafica donde se represente dicha ecuación.
Ejemplo:
3X – 6Y = 3
3X – 6Y + 6Y = 3 + 6Y Sumamos 6Y en ambos miembros de la igualdad
3X = 3 + 6Y
3X / 3 = 3 + 6Y / 3 Dividimos a ambos miembros entre 3
X = 3 + 6Y / 3 Y nos resulta X.
Luego de tener una de nuestras incógnita despejada, formamos nuestra tabla de valores positivos (Número naturales) dándole valores a Y, con la finalidad de encontrar los valores de X.
Calculamos cuando Y = 3
X = 3 + 6(3) / 3 Sustituimos
X = 7
Calculamos cuando Y = 2
X = 3 + 6(2) / 3
X = 5
Calculamos cuando Y = 1
X = 3 + 6(1) / 3
X = 3
Calculamos cuando Y = 0
X = 3 + 6(0) / 3
X = 1
Ahora obtenemos nuestra tabla de valores:
X 1 3 5 7
Y 0 1 2 3
y obtenemos nuestra gráfica:
Fichas de Trabajos
Ficha 1: Ejercicios y Problemas del Grupo Editorial Bruño (2 pgs)
Ficha 2: Ejercicios Funciones de 1º de ESO – Anónimo (2 pgs)
Ficha 3: Función de la proporcionalidad directa – Anónimo (2 pgs)
Ficha 4: Tablas y coordenadas – Anónimo (2 pgs)
Ficha 5: Tema 8: Funciones de 1º de ESO del Colegio “La Inmaculada M.S.J.O.”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero (Valladolid) (8 pgs)
Ficha 6: Tabla de Valores – Material fotocopiable de Santillana Educación (2 pgs)
Autoevaluación: Ejercicios de repaso de matemáticas de 1º de ESO – Anónimo (1 pg)
Videos Didácticos
Funciones, conceptos básicos #1 por Todosobresaliente.com
Graficar funciones lineales por Daniel Carrión.
Tablas de valores y representación gráficas de funciones de Ruben Sebastián.
Software Educativo
Funciones y gráficas de 1º de ESO de Proyecto Medusa
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Webs y documentos consultados:
11. Tablas y gráficas del Cidead (20 pgs)
http://www.miprofe.com; http://deecuacionesdeprimergrado.blogspot.com/