Unidad 9. Figuras planas

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LOS POLÍGONOS

Un polígono es la porción de plano encerrada por varios segmentos llamados lados. El término «polígono» procede del griego antiguo y significa «muchos» (poli) ángulos (gono).

Los polígonos pueden ser:
Convexos: todos sus ángulos interiores son menores de 180º.
Cóncavos: algunos de sus ángulos interiores son mayores de 180º.

También los podemos clasificar en:
Equiángulo: Un polígono es equiángulo cuando tiene todos sus ángulos iguales.
Equilátero: Un polígono es equilátero cuando todos sus lados son iguales.
Regular: Un polígono es regular cuando todos sus lados y ángulos son iguales.
Irregular: Es el polígono que tiene lados y ángulos desiguales

Polígonos regulares

Sus elementos característicos son:
 • Lado: cada uno de los segmentos de la línea poligonal cerrada.
Vértice: cada uno de los puntos comunes a dos lados consecutivos.
Centro: punto que equidista de todos los vértices.
Apotema: segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada lado.
Radio: segmento que une el centro del polígono con cada uno de los vértices.
Diagonal: segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos.
Ángulo interior: cada uno de los ángulos formados por dos vértices no consecutivos.

Cada polígono regular recibe un nombre según su número de lados:

• De tres lados: triángulo equilátero.
• De cuatro lados: cuadrado.
• De cinco lados: pentágono.
• De seis lados: hexágono.
• De siete lados: heptágono.
• De ocho lados: octógono.
• De nueve lados: eneágono.
• De diez lados: decágono.
• De once lados: endecágono.
• De doce lados: dodecágono.

TRIÁNGULO

Un triángulo es un polígono de tres lados. Sus elementos son: lados, base, altura, vértices y ángulos. La suma de sus ángulos es 180º

 Los vértices se indican con letras mayúsculas.
 Los ángulos se indican con las mismas letras mayúsculas que el vértice correspondiente y, sobre ellas, el símbolo de ángulo ̂.
 Los lados opuestos a cada ángulo se designan con las mismas letras, pero en minúscula.

Propiedades de los triángulos:
En un triángulo cualquiera siempre se cumplen las siguientes propiedades:
 La longitud de cada lado es más pequeña que la suma de los otros dos (propiedad de la desigualdad triangular).
 El lado más largo es el opuesto al ángulo más grande; y al revés: el lado más corto es el opuesto al ángulo más pequeño.
 La suma de los ángulos de triángulo es equivalente a un ángulo plano (180 grados).

Clasificación de triángulos.
Los triángulos se pueden clasificar según sus ángulos en:
Acutángulos: los tres ángulos agudos.
Rectángulos: un ángulo recto y dos agudos.
Obtusángulos: un ángulo obtuso y dos agudos.

Los lados de un triángulo rectángulo se denominan de una manera especial:
Hipotenusa. Es el lado opuesto al ángulo recto.
Catetos. Son los lados opuestos a los ángulos agudos.

Según sus lados se clasifican en:
Equiláteros: los tres lados iguales.
Isósceles: dos lados iguales y uno distinto.
Escalenos: los tres lados distintos.

Construcción de un triángulo con regla y compás.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras se aplica sólo a triángulos rectángulos. Los elementos de un triángulo rectángulo son:
_ Ángulo recto: es el ángulo que mide 90°.
_ Hipotenusa (h): es el lado mayor, coincide siempre con el opuesto al ángulo recto.
_ Cateto menor (c): es el lado menor que compone el ángulo recto.
_ Cateto mayor (C): es el lado mayor que compone el ángulo recto.

El teorema de Pitágoras dice:
Es decir, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Elementos de medida de los polígonos:

Mediatriz

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por su punto medio y forma cuatro ángulos de noventa grados.

Circuncentro.

El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, donde la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (= al radio).
Es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (La mediatriz, es la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Para representar el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de todas ellas. 

Incentro

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, donde la distancia a cada uno de sus lados es la misma (= el radio de la circunferencia). Es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de sus ángulos del triángulo, para ello  debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas

Bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales.

Mediana

Es una rectas con origen en un vértice y que pasan por el punto medio del lado opuesto. Se cortan en un punto denominado baricentro.

Altura

Es la recta perpendicular a cada uno de los lados hasta el vértice opuesto de la figura.

CUADRILÁTEROS

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Sus elementos característicos son: lados, vértices, ángulos y diagonales. Por tanto tiene cuatro lados, cuatro vértices y dos diagonales y la suma de sus ángulos es igual a 360º.

Las diagonales de un cuadrilátero son segmentos que tienen origen en dos vértices opuestos. Un cuadrilátero tiene dos diagonales.
Los ángulos de un cuadrilátero suman 360 grados.

Clasificación de los cuadriláteros.

Se pueden clasificar según el paralelismo entre sus lados en:
Trapezoides: no tiene lados paralelos. Presenta ángulos desiguales lados desiguales y no paralelos
Trapecios: tiene dos lados paralelos. Hay tres tipos:

  • Trapecio isósceles: dos lados paralelos dos lados iguales dos diagonales iguales
  • Trapecio escaleno: dos lados paralelos lados y ángulos desiguales.
  • Trapecio rectángulo: Dos ángulos rectos Dos lados paralelos.

Paralelogramos: Es un tipo especial de cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos.
– Los paralelogramos cumplen 4 propiedades:
– En todo paralelogramo los ángulos y lados opuestos son paralelos (igual medida).
– Tienen dos pares de lados opuestos paralelos.
– Las diagonales se cortan en su punto medio.
– Dos ángulos contiguos son suplementarios (suman 180º).

Los paralelogramos se pueden clasificar atendiendo a sus ángulos y a sus lados en:
Cuadrados: sus cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos también.
Rectángulos: sus lados opuestos son iguales dos a dos y sus cuatro ángulos son rectos (90 º) e iguales.
Rombos: sus cuatro lados son iguales y sus ángulos opuestos son iguales. Presenta una diagonal mayor y otra menor se cortan en puntos medios formando 90º.
Romboides: sus lados opuestos son iguales y sus ángulos opuestos son iguales.

Observa el esquema:

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una línea plana y cerrada formada por todos los puntos se encuentran a igual distancia de un punto O dado. También la podemos definir como una circunferencia es un conjunto de puntos que están a la misma distancia de otro punto llamado centro. Es una curva cerrada y plana cuyos puntos EQUIDISTAN (están a la misma distancia) del centro.
El punto O se llama centro de la circunferencia y la distancia entre el centro y cualquiera de los puntos de la circunferencia se llama radio.

Elementos.

En una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos:

Centro: es el punto situado en su interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.
Radio: es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Arco: es el segmento de circunferencia comprendido entre dos de sus puntos.
Semicircunferencia: es el arco que abarca la mitad de la circunferencia.

Posiciones relativas entre punto y circunferencia.

Entre un punto y una circunferencia pueden producirse distintas situaciones a las que llamamos posiciones relativas.
El punto es exterior a la circunferencia si se encuentra a una distancia del centro mayor que el radio. El punto está fuera de la circunferencia.
El punto es interior si se encuentra a una distancia del centro menor que el radio. El punto está dentro de la circunferencia.
Si el punto está situado sobre la circunferencia, luego pertenece a ella. La distancia al centro es igual al radio.

Posición de una recta respecto a la circunferencia.

Se pueden dar los siguientes casos:

  • Si la recta no tiene ningún punto en común con la circunferencia, decimos que son exteriores.
  • Si tienen un punto en común, decimos que la recta y la circunferencia son tangentes. En este caso la recta es perpendicular al radio.
  • Si tienen dos puntos comunes, entonces decimos que la recta y la circunferencia son secantes.

Posición de dos circunferencias.

Entre dos circunferencias se pueden producir las siguientes posiciones relativas.
Exteriores: todos los puntos de cada circunferencia son exteriores a la otra.
Interiores: todos los puntos de una de las circunferencias son interiores a la otra. Si tienen el mismo centro, decimos que son concéntricas.
Tangentes: tienen un punto en común. Serán tangentes exteriores o tangentes interiores, dependiendo de la posición de los puntos que no son comunes a ambas.
Secantes: tienen dos puntos en común y cada circunferencia divide a la otra en dos arcos.

Ángulos en la Circunferencia.

Ángulo central.

Se llama ángulo central a cualquier ángulo que tenga su vértice en el centro de la circunferencia.
Todo ángulo central corta a la circunferencia en dos puntos que determinan un arco comprendido.
Así, un ángulo de 180º divide a la circunferencia en dos arcos iguales y un ángulo recto comprende un arco que es la mitad de una semicircunferencia.

De esta manera es posible identificar cada ángulo central con su arco de circunferencia correspondiente.

Relación entre el ángulo central y el inscrito.

Se llama ángulo inscrito al ángulo que tiene su vértice P en la circunferencia, de forma que sus lados son secantes con la circunferencia.
Si A y B son los puntos en que los lados del ángulo inscrito APB cortan a la circunferencia y consideramos el ángulo central AOB que queda determinado por los puntos A y B, resulta entonces que este ángulo central AOB tiene amplitud doble que el ángulo inscrito APB.

Sabemos así que la amplitud de cualquier ángulo inscrito es la mitad de la amplitud del ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito en la semicircunferencia.

Como consecuencia de la relación existente entre las amplitudes de los ángulos centrales y sus correspondientes ángulos inscritos, resulta fácil obtener la amplitud de un ángulo inscrito en una semicircunferencia.

Un diámetro de la circunferencia determina una semicircunferencia, que se corresponde con un ángulo central de 180º (llano). Así, cualquier ángulo inscrito determinado por el diámetro tendrá una amplitud que es la mitad del ángulo llano. Por lo tanto, todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

El círculo.

Llamamos círculo a la región plana encerrada por una circunferencia. De forma más precisa, si O es el centro de la circunferencia, el círculo es la región del plano formada por todos los puntos cuya distancia al centro O es menor o igual que el radio de la circunferencia.
Así, el círculo comprende a todos los puntos de la circunferencia y también a todos los puntos interiores a ella. La circunferencia es por lo tanto el contorno, la «frontera» del círculo.
Se llaman centro, radio y diámetro del círculo al centro, radio y diámetro de su circunferencia.

Figuras circulares.

Es posible determinar en un círculo varias figuras geométricas:

  • sector circular es la región del círculo determinada por dos radios.
  • segmento circular es la región del círculo determinada por una cuerda.
  • La región delimitada por dos cuerdas paralelas se llama zona circular.
  • La región determinada por dos circunferencias concéntricas se denomina corona circular.
  • Si cortamos una corona circular por dos radios, obtenemos una figura llamada trapecio circular.

Webs y Documentos consultados:
* Matemáticas de 1º de ESO: tema 9 de Cidead;
* Las láminas.es: Matemáticas 1º de ESO; Apuntes de geometría de 1º de la ESO de Word School,
* Geometría: Figuras bidimensionales y Tridimensionales por Esteban Hernández de la
Universidad de P.R. en Bayamón.
* Geometría: Matemáticas del día a día 1º
* Ejercicios del tema 12: Figuras planas y espaciales (1º ESO) – Anónimo.
* Tema 10: formas y figuras planas de 1º de ESO por  Manuel González de León del IES Fuentesaúco.
* Unidad 10: propiedades de las figuras planas. Anónimo.
* Web
https://www.gaussianos.com/

Videos Educativos

Clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos por Profe Vera Vera Secundario.
Cómo medir los ángulos de un triangulo por Matemática por Mica
Figuras circulares: La circunferencia y sus elementos por Sensei de las Mates.
Incentro de un triángulo (bisectrices) por Arturo Geometría.
La Educteca: Clasificación de los polígonos
Teorema de Pitágoras por Susi profe

Software para practica

Geometría en Jclic por Gonzalo Trueba Pérez para1º y 2º de ESO
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Los polígonos: triángulos y cuadriláteros de Cuadernia
Los Triángulos por Arturo Ramo García Recursos Red XXI
Polígonos y circunferencias por Educarex-Atenex
Examen de figuras planas (1) por Arturo Ramo García Recursos Red XXI

Fichas de Trabajo

Ficha 1 – Figuras Planas – Pre.prueba – Anónimo (3 pgs)
Ficha 2 – IV Ejercicios con polígonos – Anónimo (1 pg)
Ficha 3 – Poligonos – Matemáticas del dia a día (9 pgs)
Ficha 4 – La circunferencia y el círculo – Matemáticas del día a día (2 pgs)
Ficha 5 – Calculo el incentro y baricentro de un triángulo – Anónimo (1 pg)
Ficha 6 – Construye un triángulo – Anónimo (1 pg)
Ficha 7 – Mediciones de triángulos – Figuras planas y espaciales – Anónimo (3 pgs)
Ficha 8 – Ejercicios con el teorema de Pitagoras – IES Val Miñar (1 pg)
Ficha 9 – Ejercicios de geometría – 1º de ESO – Anónimo (2 pgs)
Ficha 10 – Figuras planas – Anónimo (13 pgs)
Ficha 11 – Dibuja polígonos – Anónimo (1 pg)

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