Unidad 8: Elementos en el plano y ángulos.

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El plano es un objeto que cobra importancia en la geometría, ya que nos permite representar figuras sobre él.

LA RECTA.

  • Punto: es el primer objeto empleado en geometría, y da origen a todos los demás. Se dice que no tiene dimensiones, es decir no tiene longitud ni anchura. Se representan en el plano por un pequeño círculo, y se nombran por una letra mayúscula. Un punto divide a una recta en dos semirrectas.
  • Recta: es una sucesión infinita de puntos. Tiene longitud, pero no anchura. Toda recta tiene que cumplir 2 propiedades:

1ª propiedad: Dados dos puntos distintos en un plano, existe una única recta que los une.
2ª propiedad: Toda recta divide al plano en dos regiones, llamadas semiplanos.

  • Semirrecta: Es una recta cortada en uno de sus puntos, por lo que tiene origen (el unto corte), pero no fin.
  • Segmento: Es la parte de un trozo de recta cortada por dos puntos A y B.

Por un punto pasan infinitas rectas.       Por dos puntos sólo pasa una recta.

Tipos de Rectas:

Para con respecto al plano 2 rectas pueden ser: secantes, perpendiculares, paralelas u oblicuas:

  • secantes: se cortan en un punto común a ambas rectas. Pueden ser:
    • perpendiculares: son rectas secantes que al cortarse forman cuatro ángulos iguales (ángulos rectos).
    • Oblícuas: se cortan sin formar ángulos rectos.
  • paralelas: son dos rectas que no se cortan y por lo tanto no tienen ningún punto común.

Trazado de Rectas:

Webs y Documentos consultados: Matemáticas del día a día: Geometría; IES JF por Ricardo Esteban Alonso; Cidead; IES Complutense.

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Videos Didácticos:

Cuáles son las rectas en un plano por UnProfesor.
Posiciones relativas de dos rectas por Matemáticas profe Alex.
Punto, recta y plano por Mi Tutorial Digital.

Software Educativo:

Rectas, semirectas, segmentos y angulos por Atenex.
Rectas y ángulos en el plano por Atenex.

Fichas de Trabajo:

Ficha 1 – Recta, semirecta y segmento de Matemáticas del día a día 1 (4 pgs)
Ficha 2 – Semirecta y segmento. Diferenciar los tipos de rectas de Material Fotocopiable Santillana Educación, S.L. (3 pgs)

Es cada una de las partes del plano limitada por dos semirrectas que tiene un origen común.

El origen de esas semirrectas se llama vértice del ángulo; las semirrectas que lo limitan se llaman lados del ángulo.

Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos.

La abertura de un ángulo se mide en grados, minutos y segundos.

TIPOS DE ÁNGULOS.

El ángulo completo mide 360º.

Por su amplitud clasificamos los ángulos en:
Ángulo recto: es el comprendido entre dos semirrectas perpendiculares.
Ángulo llano: es el que resulta al trazar dos semirrectas de igual origen y sentido opuesto.

Por comparación con el ángulo recto:
Un ángulo es agudo si es de menor amplitud que el ángulo recto. Miden entre 0º y 90º.
Es obtuso si tiene mayor amplitud que un recto y menor que un llano. Miden entre 90º y 180º.
Por comparación con el ángulo llano:
Un ángulo es convexo si es de menor amplitud que el ángulo llano. Es cóncavo si su amplitud es mayor que la del ángulo llano.

Relaciones entre ángulos.
Decimos que dos ángulos son consecutivos o adyacentes si tienen el vértice y un lado en común y decimos que son iguales si tienen la misma amplitud.

Dos ángulos son complementarios si en posición de consecutivos equivalen a un recto (=90 º)
Dos ángulos son suplementarios si en posición de consecutivos equivalen a un llano (=180º).
Dos rectas que se cortan en un punto determinan cuatro ángulos que son iguales dos a dos. Decimos en este caso que los pares de ángulos de la misma amplitud son opuestos por el vértice.

MEDIDA DE UN ÁNGULO.

Para medir la amplitud de un ángulo utilizaremos como unidad el grado, representado por el símbolo » º «.

Un ángulo puede medirse en grados, minutos y segundos.

Sistema sexagesimal.
Para medir la amplitud de ángulos con mayor precisión se utiliza el sistema sexagesimal.
Este sistema consiste en dividir un grado en 60 partes iguales. A cada una de estas divisiones la llamamos minuto, de manera que cada grado contiene 60 minutos. De igual forma, cada minuto se divide en 60 partes iguales para obtener un segundo y obtenemos la siguiente equivalencia:

• 1 grado = 60 minutos → 1º = 60´. Por tanto, para pasar de grados a minutos se multiplica por 60. Para pasar de minutos a grados se divide por 60.
Ejemplos:
a) 20º = (20 · 60) = 1200´. b) 1,2º = (1,2 · 60 ) = 72´. c) 0,5º = (0,5 · 60) = 30´.
d) 0,1º = 6´. e) 300´ = (300 : 60) = 5º. f) 132´ = 2º 12´ = 2,2º

• 1 minuto = 60 segundos → 1´ = 60´´. Por tanto, para pasar de minutos a segundos se multiplica por 60. Para pasar de segundos a minutos se divide por 60.
Ejemplos:
a) 12´ = (12 · 60) = 720´´.
b) 0,4´ = (0,4 · 60) = 24´´.
c) 84´´ = (84 : 60) = 1,4´ = 1´ 24´´
Un ángulo puede expresarse en grados, minutos y segundos. Por ejemplo: 25º 30´ 36´´.
También se puede expresar en forma decimal. Por ejemplo: 25,51º.

Paso de complejo a incomplejo:
Para pasar de complejo a incomplejo se multiplica si hay que pasar de una unidad a otra inferior, que es el más general, o se divide (si hay que pasar a otra de orden superior) por su equivalencia: Ejemplo: Pasar a (») la medida de un ángulo de 2º 24′ 18» 2º · 60 = 120′
120′ + 24′ = 144′
144′ · 60 = 8640»
8640» + 18» = 8658»

Paso de incomplejo (una unidad) a complejo (varias unidades):
Para pasar de incomplejo a complejo se va dividiendo (o multiplicando), según sea para pasar a una unidad superior (o inferior respectivamente), por la equivalencia de orden superior (o inferior).
Lo mejor es verlo con un ejemplo: Pasar a grados, minutos y segundos un ángulo de 17245»
17245» : 60 = 277′ y sobran 25»
277′ : 60 = 4º y sobran 47′
Por lo tanto nos queda: 4º 47′ 25»

OPERACIONES  CON ÁNGULOS.

Suma de ángulos.

Dos o más ángulos pueden sumarse para formar otro.
La operación suma de ángulos se realiza tanto gráficamente como analíticamente.
La suma gráfica o dibujando los ángulos se realiza colocando los ángulos en posición de consecutivos, es decir, compartiendo el vértice y un lado, para dar lugar a otro ángulo que comprende a ambos.

Analíticamente, la operación se realiza sumando las amplitudes de los ángulos para obtener la amplitud del ángulo resultante, es como una suma normal, pero sumando independientemente grados, minutos y segundos.

Si viene expresados en grados, minutos y segundos, conviene sumar cada unidad por separado. Para expresar correctamente el resultado, cada 60´´ se transforman en 1´ y cada 60´ se convierten en 1º.

Resta de ángulos.

La resta o diferencia de ángulos puede hacerse, igual que la suma, de dos formas: gráfica y analítica.
Gráficamente, basta colocar los dos ángulos de manera que compartan el vértice y un lado.

La resta analítica se realiza restando la amplitud del ángulo menor de la del mayor.
Para restar formas complejas se actuará de la misma manera, es decir, restando los segundos, los minutos y l0s grados entre sí.

Pero si en el minuendo existe una cantidad menor que en el sustraendo debemos pasar una unidad de orden superior a 60 de orden inferior y se le suma a las que existían, con lo que el número de arriba será mayor que el de abajo.

Multiplicación de ángulos.

Multiplicar un ángulo por un número natural equivale a sumar el ángulo consigo mismo tantas veces como indique el número.
Para multiplicar gráficamente un ángulo por un número natural basta colocar el ángulo en posición de consecutivo consigo mismo tantas veces como indique el número.
La operación analítica de multiplicar se realiza multiplicando el número por la amplitud del ángulo.

División de ángulos.

La división de un ángulo por un número natural consiste en repartir el ángulo en tantas partes iguales como nos indique el número.
La división se realiza de forma analítica dividiendo la amplitud del ángulo entre el número natural correspondiente.
La división gráfica resulta compleja ya que no siempre se puede hacer con regla y compás.

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Presentación: Tema 10 – Ángulos – Anónimo

Videos Didácticos:

Cómo medir un ángulo
Multiplicación y división de ángulos por sinapuntes.
Multiplicación y división de ángulos por TuprofeYoutube
¿Qué es y cómo se dibuja un ángulo? por Matemáticas profe Alex.
Resta de ángulos por Susi profe.
Suma de ángulos por Susi profe
Tipos de ángulos. Superfácil para principiantes por Daniel Carreón.

Software Educativo:

Adición y sustracción de ángulos en Cuadernia – Consejería de Castilla La Mancha.
Ángulos en Educarex. Material en LIM
Ángulos. Clases y medida: Suma de ángulos de Anaya Primaria
Clasificación de ángulos en Cuadernia – Consejería de Castilla La Mancha
La importancia de los ángulos por e-learningforkids.org
Los ángulos en Cuadernia – Consejería de Castilla La Mancha
Medición de ángulos con el transportador en Cuadernia – Consejería de Castilla La Mancha
Rectas y ángulos de genmagic. (Descarga)
Resta de ángulos por la Junta de Andalucía.
Suma de ángulos del Gobierno de Canarias
Unidades de medida de ángulos por la Junta de Andalucía.
Relación de Software para realizar las medidas de ángulos. PDF

Fichas de Trabajo:

Ficha 1 – Los ángulos – actividades. Anónimo (5 pgs)
Ficha 2 – Geometría. Ángulos – Anónimo (ejercicios 1 al 15)
Ficha 3 – Ejercicios con ángulos de Santillana Educación (2 pgs)
Ficha 4 – Geometría. Matemáticas del día a día (5 pgs)
Ficha 5 – Operaciones con medidas de ángulos de Indexnet.Santillana.es (8 pgs)
Ficha 6 – El sistema sexagesimal de Santillana Educación (10 pgs)
Ficha 7 – Medición de ángulos – Anónimo (6 pgs)
Autoevaluación del Tema 8.2.: Ángulos. – Cidead (1 pg)

Webs y Documentos consultados: Matemáticas 1º de ESO de Cidead: Tema 8:  Geometría en el plano; Matemáticas de 1º de ESO de Santillana Educación: tema 9: ángulos y rectas. Matemáticas 1º de ESO del IES JF por Ricardo Esteban Alonso.