Unidad 3 – Fracciones y Proporciones

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Las fracciones son la división de un número entero en una o más partes iguales. A las fracciones las componen dos números separados por una línea fraccionaria.

Los elementos que forman la fracción, y que se escriben separados por una raya horizontal, son:

  • El numerador. Es el número de arriba, indica las partes que tenemos.
  • El denominador. Es el número de abajo, indica el número de partes en que dividimos a cada unidad.

Cómo se lee una fracción.
Primero se lee el numerador como cualquier número.
Después se lee el denominador de esta manera:
– Si es el 1 se lee enteros.
– Si es el 2 se lee medios.
– Si es el 3 se lee tercios.
– Si es el 4 se lee cuartos.
– Si es el 5 se lee quintos
– Si es el 6 se lee sextos
– Si es el 7 se lee séptimos
– Si es el 8 se lee octavos
– Si es el 9 se lee novenos
– Si es el 10 se lee décimos
– Si es más de 10 se lee el número terminado en avos. Ejemplo onceavos, doceavos, treceavos, …
– Si es una potencia de 10 se lee el número terminado en ésimos. Ejemplo centésimos, milésimos, diezmilésimos, …

Su valor será más grande cuanto mayor tenga el numerador, y será más pequeño cuanto mayor tenga el denominador.

  • Si el numerador es más pequeño que el denominador, entonces la fracción vale menos de 1.
  • Si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción vale 1.
  • Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción vale más de 1.

Tipos de Fracciones:

Hay tres tipos de fracciones:

Fracciones El numerador es menor que el denominador
Ejemplos: 1/33/42/7
Fracciones impropias:El numerador es mayor (o igual) que el denominador
Ejemplos: 4/311/47/7
Fracciones mixtas:Un número entero y una fracción propia juntos
Ejemplos: 1 1/3, 2 1/4, 16 2/5

Fracciones impropias
Entonces, una fracción propia es sólo una fracción donde el numerador (el número de arriba) es más grande o igual que el denominador (el número de abajo). O sea, arriba pesa más. Ejemplos:

3/27/416/15

Fracciones impropias = Fracciones mixtas

Puedes usar una fracción impropia o una fracción mixta para escribir la misma cantidad. Por ejemplo 1 3/4 = 7/4, aquí se ve:

Fracciones equivalentes
Las fracciones equivalentes tienen distinto numerador y denominador, pero valen lo mismo. Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella.

  • Para obtener otra fracción equivalente a una dada nos basta con multiplicar o dividir sus términos por el mismo número.

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes o no, el método más fácil es el de los productos cruzados.
Multiplicamos sus términos en aspa, el numerador de cada una por el denominador de la otra, si ambos productos son iguales las fracciones son equivalentes. Luego dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

Para simplificar una fracción debemos buscar un número que sea divisor del numerador y del denominador para dividirlos por él.

Nos interesa dividirlos por el número mayor posible, ese número es el máximo común divisor de ambos, así, de una sola vez habremos llegado a la fracción irreducible.

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR

Para sumar o restar fracciones es necesario que tengan el mismo denominador.
Cuando las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el denominador igual en todas.

Métodos para reducir a común denominador. Cómo poner el mismo denominador:

El truco es calcular el Mínimo común múltiplo de los denominadores. En el ejemplo de antes, el mínimo común múltiplo de 8 y 12 era 24. Y por eso el mínimo común denominador de 3/8 y 5/12 es 24

Así que, aquí están los pasos:
* Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores (se le llama el mínimo común denominador). Cambia cada fracción (usando fracciones equivalentes) para que los denominadores sean iguales al mínimo común denominador. ¡Ya puedes hacer lo que quieras con las fracciones (sumar, restar)!
* Ejemplo: ¿Cuánto es 1/6 + 7/15 ? El mínimo común mútiplo de 6 y 15 es 30 (¡intenta calcularlo tú mismo!). Así que vamos a multiplicar para que cada denominador sea igual a 30:  

Ahora es fácil hacer la suma: 5/30 + 14/30 = 19/30.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Para sumar fracciones es necesario que tengan todas el mismo denominador.
Si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas.
Para ello se siguen estos pasos:

  • Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores y se pone de denominador de cada una.
  • Para hallar cada uno de los nuevos numeradores se divide ese número por el denominador de una fracción y se multiplica por su numerador.
  • Finalmente se suman los numeradores y se pone el mismo denominador.
  • Si se puede se simplifica.

Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Ejemplo 1:

Paso 1. Los números de abajo son los mismos. Ve directamente al paso 2.
Paso 2. Suma los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:

 Paso 3. Simplifica la fracción:

Con distinto denominador:
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Ejemplo 2:

Paso 1: los números de abajo son diferentes. Así que necesitamos hacerlos iguales. Podemos multiplicar arriba y abajo de 1/3 por 2 así:

ahora los números de abajo (los denominadores) son iguales, quedando el problema así:

Paso 2: suma los números de arriba y ponlos sobre el mismo denominador:

Paso 3: simplifica la fracción:

Cuando tenemos juntas sumas y restas seguimos el mismo proceso que si tuviéramos solamente sumas:

  • En primer lugar, si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas.
  • Una vez con el mismo denominador, se suman y restan los numeradores y se pone el mismo denominador.
  • Por último si se puede se simplifica.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para multiplicar fracciones no hace falta pasarlas a común denominador, se multiplican directamente. Multiplicamos sus numeradores y lo ponemos de numerador, multiplicamos sus denominadores y lo ponemos de denominador.

Para multiplicar un número natural por una fracción lo multiplicamos solamente por el numerador.

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.

  • Una fracción se puede dividir por cualquier otra, menos por la fracción 0.

OPERACIONES COMBINADAS

A la hora de realizar operaciones combinadas de fracciones deberemos tener en  consideración la siguiente prioridad:

  1. Primero productos y cocientes, de izquierda a derecha.
  2. Al final las sumas y restas.


Webs consultadas: https://proyectodescartes.org/ ; https://www.superprof.es/https://www.disfrutalasmatematicas.com/.

Examen de Fracciones.

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Videos

Mirá Fracciones. de Edu.car
Troncho y Poncho explican las fracciones

Fichas de Trabajo

5. Fracciones de 1º de ESO por Cide@d (16 pgs)
Capítulo 5: Fracciones de 1º de ESO por LibrosMareaVerde.tk (25 pgs)
Cuaderno de Actividades nº 8: Fracciones de Edufichas.com (29 pgs)
Cuadernillo de las Fracciones de Materialparamaestros.com (15 pgs)
Ejercicios de fracciones – anónimo (4 pgs)
Ficha 5: Fracciones – del IES Ramón Giraldo (1 pgs)
Fracciones – Problemas A en MasMates.com (3 pgs)
Fracciones – Problemas C en MasMates.com (5 pgs)
Fracciones – Anónimo – Dpto de Matemáticas de 1º ESO (7 pgs)
Fracciones. Operaciones con Fracciones para 1º de ESO – Anónimo (1 pg)
Ejercicios de refuerzo de 1º de ESO : Fracciones – Anónimo (13 pgs)
Las Fracciones del CEIP Bretón de los Herreros (Logroño) (8 pgs)
Operaciones con fracciones. Repaso por el IES Avempace (2 pgs)
Tema 8: Problemas con fracciones en 1º de ESO por el IES Complutense (2 pgs)
Unidad 7 : Las fracciones – Soluciones a ejercicios y problemas – anónimo (7 pgs)

Software Educativo:

Fracciones en Jueduland
Fracciones por Eduardo Timón en Jclic
Fracciones del Gobierno de Canarias – Proyecto Medusa (Teoría y práctica)
Las Fracciones – del MEC
Las Fracciones de 5º de Primaria por Cuadernia
Ordena fracciones de Sergiov
Tipos y comparación de fracciones de Cuadernia

¿Qué es una proporción?

En matemáticas, se conoce como proporción a la relación de igualdad que existe entre dos razones, es decir, entre dos comparaciones entre dos cantidades determinadas. O sea: si a/b es una razón, entonces la igualdad a/b = c/d será una proporción. Pero anteriormente deberemos diferenciar entre razón y proporción.

Razón: es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Entonces: La razón entre dos números a y b es una fracción y se lee a es a b. Esta razón también puede escribirse a:b.

Para hallar la razón entre dos números, formas el cociente entre ellos y los simplificas tanto como sea posible. Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que 10/2=5

Proporción: Dadas dos razones a/b y  c/d diremos que están en proporción si a/b = c/d
Los términos a y se denominan extremos mientras que b y c son los medios. En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios
 = c/d ⇒  a·d = b·c 

A veces hay situaciones en las que el valor o cantidad de una magnitud depende del valor de la otra.

Ejemplo: si un negocio de venta de pizza tiene una ganancia de 15.000 € y un gasto de 5.000 €, podremos decir que la empresa tiene una razón de 3 veces su ganancia.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Cuando dos magnitudes están relacionadas de modo que los valores de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número los valores correspondientes en la otra, se dice que son directamente proporcionales.

Cuando echamos combustible a nuestro vehículo, existe una relación entre la cantidad de litros de combustible que echamos en el depósito y el dinero que tendremos que pagar, es decir, cuanto más combustible echemos más dinero pagaremos y al revés, cuanto menos dinero paguemos menos combustible podremos echar. El factor del que depende esta relación es el precio de cada litro.

Dicho factor es la razón de proporcionalidad que existe entre la magnitud «litros de combustible» y la magnitud «dinero que cuesta el repostaje».En una proporcionalidad directa dos cantidades cualesquiera de una magnitud y sus correspondientes en la otra forman una proporción.

Observa estos ejemplos, mantienen una proporción directa:

  • Cantidad de juguetes que tengas con el espacio que ocupan.
  • La velocidad a la que va un coche con el tiempo que tarda en recorrer un trayecto.
  • El tamaño de tu habitación con el tiempo que tardas en limpiarla.

Veamos otro ejemplo resuelto:

«Ayer le puse a mi coche 30 litros de combustible y me cobraron 45€. Unas horas después volví a la gasolinera con el coche de mi padre y después de llenar el depósito pagué 60€. ¿Cuántos litros de combustible eché al coche de mi padre? «

Para resolver esto lo primero que haremos es sacar la razón de proporción que hay entre los litros que eché la primera vez y lo que me costó.

45€ : 30 litros = 1,5 €/litro (euros por litro)

Luego, una vez que ya sabemos que la razón es 1,5 €/litro, calculamos los litros que se echan con 60€.

60€ : 1,5 €/litro = 40 litros

Por tanto, la segunda vez le eché a mi coche 40 litros de combustible.
Son relaciones en las que cuanto más crece una de las magnitudes más crece la otra. 

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Existen otras formas de relaciones entre magnitudes en las que el comportamiento es diferente al de los ejemplos dados de proporcionalidad directa, en estos casos, si los valores de una aumentan, los valores correspondientes en la otra disminuyen.

Por ejemplo, si un automóvil se desplaza con una cierta velocidad y la aumenta, el tiempo que demora en llegar a su destino disminuye.
Cuando dos magnitudes están relacionadas de modo que los valores de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número los recíprocos de los valores correspondientes de la otra magnitud, se dice que son inversamente proporcionales.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número.

Cuanto mayor velocidad lleve el coche de carreras:

menos tiempo tardará en dar una vuelta al circuito.

Imaginemos que dando una vuelta al circuito a 100 km/h, el coche tarda 12 min. En este caso y sabiendo que existe una relación de proporcionalidad inversa podremos decir que si multiplicamos la velocidad por 2 (200 km/h), entonces el tiempo por vuelta quedará dividido entre 2 (6 min).

Si por el contrario, redujera su velocidad a la mitad (100 km/h : 2 = 50 km/h) el tiempo por vuelta sería al doble (12 min x 2 = 24 min)

REGLA DE TRES DIRECTA E INVERSA

Una forma de resolver los problemas de proporcionalidad, directa e inversa: la regla de 3 simple:

  • Si la relación entre las magnitudes es directa (cuando aumenta una magnitud también lo hace la otra) hay que aplicar la regla de tres simple directa.
  • Por el contrario, si la relación entre las magnitudes es inversa (cuando aumenta una magnitud disminuye la otra) se aplica la regla de tres simple inversa.
¿Qué es la regla de 3 simple?

La regla de 3 simple es una operación que nos ayuda a resolver rápidamente problemas de proporcionalidad, tanto directa como inversa.

Para hacer una regla de tres simple necesitamos 3 datos: dos magnitudes proporcionales entre sí, y una tercera magnitud. A partir de estos, averiguaremos el cuarto término de la proporcionalidad.

Regla de 3 simple directa

Empezaremos viendo cómo aplicarla en casos de proporcionalidad directa (cuando aumenta una magnitud también lo hace la otra).

Colocaremos en una tabla los 3 datos (a los que llamamos «, « y «) y la incógnita, es decir, el dato que queremos averiguar (que llamaremos “x”). Después, aplicaremos la siguiente fórmula:

Para ver un ejemplo, vamos a resolver el mismo problema de proporcionalidad directa que vimos la semana pasada, ahora aplicando la regla de 3 simple:

Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos han dicho que 5 centímetros del mapa representan 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?

Vamos a hacer la tabla con los 3 datos y la incógnita (“x”), y hallaremos “x” con la fórmula que acabamos de aprender:

Solución: El parque se encuentra a 960 metros del hotel

Regla de 3 simple inversa

Ahora vamos a ver cómo aplicar la regla de 3 simple en casos de proporcionalidad inversa (cuando aumenta una magnitud disminuye la otra).

Colocaremos los 3 datos y la incógnita en la tabla igual que los hemos colocado en el caso anterior. Pero aplicaremos una fórmula distinta:

Vamos a ver un ejemplo con el mismo problema que resolvimos en el post de la semana anterior.

Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma cantidad de mercancía del almacén al centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los camiones?

Colocamos los datos en una tabla y aplicamos la fórmula de la regla de 3 simple inversa:

Solución: Ayer los 2 camiones hicieron 9 viajes.

¿Qué te ha parecido este post? ¿Verdad que es muy fácil aplicar la regla de tres simple en los problemas de proporcionalidad?

PORCENTAJES

El porcentaje n% es una forma de expresar la proporción «n de cada 100″ (es decir, la fracción n/100).
Para calcular el porcentaje de una cantidad N, aplicamos una regla de tres simple identificando N con el 100%.

Por ejemplo, para calcular el n% de N, multiplicamos n por N y dividimos entre 100:

Recordad que tenemos que multiplicar en cruz y dividir entre el dato aislado.

Ejemplo 1:
En un colegio con 500 niños, el 75% juega al fútbol y el 25% juega al básquet. ¿Cuántos niños juegan al fútbol y cuántos al básquet?

Solución:
Calculamos el 75% de 500 y luego el 25% de 500.
Por tanto, 375 niños juegan al fútbol y 125 al básquet.

Problema 1: Hubo un 60% de alumnos que superaron el examen de matemáticas. De ellos, el 25% obtuvo una nota de 5 y el 50% del resto obtuvo una nota de 9.
Si hay un total de 240 alumnos, ¿cuántos superaron la prueba? ¿Cuántos obtuvieron un 5 y cuántos un 9?
Solución: El 100% es el número total de alumnos. Calculamos el 60% aplicando una regla de tres:

Un total de 144 alumnos superó la prueba.
Los que obtuvieron un 5 fueron el 25% de estos 144. Tenemos que calcular el 25% de 144:

Por tanto, 36 alumnos obtuvieron un 5.
El resto de alumnos es 144-36=108. De ellos, el 50% obtuvo un 9. Es decir, 54 alumnos obtuvieron un 9.

Tabla resumen:

Incrementos y disminuciones porcentuales.

Para calcular el aumento porcentual de una cantidad se puede calcular el porcentaje de aumento de esa cantidad y después sumarlo a la cantidad inicial. Por ejemplo:
Un libro de 20 € aumenta su precio en un 15%, ¿cuánto vale ahora?

Primero calculamos el 15% de 20 €:
Por ello multiplico el 20 por el porcentaje en forma decimal.
El aumento porcentual corresponde a 3 euros.
Ahora sumamos la cantidad que acabamos de calcular a la cantidad inicial: 20 + 3 €
Por tanto, el precio final del libro es de 23 euros.

¿Cómo se calcula el porcentaje de descuento? ¿Cómo se calcula la cantidad final de una disminución porcentual?

Un porcentaje de descuento en un precio es lo mismo que una disminución porcentual. Para calcular la disminución porcentual de una cantidad se puede calcular el porcentaje de disminución de esa cantidad y después restarlo a la cantidad inicial.

Por ejemplo: Un portátil de 300 € desciende su precio en un 20%, ¿cuánto vale ahora?
Primero calculamos el 20% de 300 €.
Que lo voy a hacer multiplicando el 300 por el porcentaje en forma decimal: 300 x .20 = 60 €
La disminución porcentual corresponde a 60 euros.
Ahora restamos la cantidad que acabamos de calcular a la cantidad inicial: 300 – 60 = 240.
Por tanto, el precio final del portátil es de 240 euros.

Vamos a ver otro ejemplo de cómo calcular la cantidad final de una disminución porcentual multiplicando directamente por el índice de variación:
Un artículo tiene un precio de 55 €. Se le quiere hacer una rebaja del 17%. ¿Cuál será el precio final del artículo?

En este caso, el índice de variación es: 1 – 0,17 = 0,83.
Obtenemos el precio final calculando directamente el precio inicial por el índice de variación 55 x 0,83 = 45,65.
El precio final es de 45,65 €.

Webs consultadas: https://www.problemasyecuaciones.com/ ; https://luisamariaarias.wordpress.com/ ; http://www.apuntesmareaverde.org.es/; https://www.ecured.cu/https://concepto.de/https://www.smartick.es/

Autoevaluación:
Porcentajes – tema 9 – I del IES Complutense.
Porcentajes – tema 9 – II del IES Complutense.

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Videos:

Cómo calcular un porcentaje de Practicopedia
Cómo calcular el tanto por ciento de Susi profe
Diferencias entre magnitudes directamente proporcionales e inversas por Unprofe
Regla de tres simple directa por Susi Profe

Fichas de Trabajo:

Azar y probabilidad de Oxford University – (2 pgs)
Ejercicios de proporcionalidad numérica con solución – de Mates+ (2 pg)
Ejercicios de Refuerzo y Ampliación: Proporcionalidad y porcentajes – Anónimo (1 pg)
Porcentaje y proporcionalidad de 6º de EP. del Colegio Bretón de los Herreros (Logroño) – (2 pgs)
Problemas de porcentajes de intergranada.com
Problemas de proporcionalidad: regla de 3 simple e inversa del IES Los Colegiales (11 pgs)
Problemas de proporcionalidad en 1º de ESO del Dpto de Matemáticas del IES Complutense (2 pgs)
Proporcionalidad para 1º de ESO del IES Pablo Serrano (6 pgs)
Proporcionalidad inversa del IES Ramón Giraldo (2 pgs)
Proporcionalidad y Porcentajes. Ficha 6 del IES Ramón Giraldo (1 pg)
Regla de tres simple de Masmates (4 pgs)

Software Educativo:

Calculadora de Porcentajes en problemasyecuaciones.com
Expresiones de un porcentaje de Santillana en Red.
Porcentajes de Ntic
Proporcionalidad en Jclic por Francisco Martín Garzón
Proporcionalidad directa e inversa. Regla de Tres de Problemas y Ecuaciones.
Porcentajes, probabilidad y estadística en Jueduland
Tanto por …. del Cnice.