Unidad 2 – Números Enteros

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El Conjunto de Números Enteros ( Z )

Entendemos por número la expresión de un valor, la cuantificación de una magnitud.
Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos.
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … … …}
Pero ¿Cómo expresar con números la altura y la profundidad, las riquezas y las deudas, las ganancias y las pérdidas, la temperatura por encima o por debajo del punto de congelación del agua? …

Los Números enteros
son los números naturales precedidos del signo + o del signo –.
El signo + se utiliza para representar lo que se tiene. Si tengo tres euros escribo +3.
El signo – se utiliza para representar lo que se debe. Si debo tres euros escribo –3.
En la expresión escrita de un número entero consideramos dos partes: el signo y el valor absoluto.

El conjunto de los números enteros le nombramos con la letra Z
Z={… … … -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, … … …}


El conjunto de los números enteros es ilimitado en sentido de los negativos y en sentido de los positivos. Los números naturales están incluidos en los números enteros, son los enteros positivos. Tal y como vemos a continuación:

  • Los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … así hasta el infinito (∞): son los números positivos, ya que podrían escribirse como +1, +2, +3, +4, +5,.. El signo positivo no se suele escribir. Si un número no lleva ningún signo es positivo.
  • El cero: 0 (No es ni positivo ni negativo, es neutro)
  • los números negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7…así hasta el menos infinito (-∞)

Es conveniente buscar la forma más simple de expresar un número, por eso, para escribir un número entero positivo es preferible no poner el signo + y dejarlo en forma de número natural.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

A los números enteros los representamos mediante puntos sobre una recta, para ello debemos fijar la posición del punto 0 y la largura del segmento unidad, que será el segmento que llevaremos sobre la recta sucesivas veces según el valor del número.
Los números positivos los colocamos a la derecha y los negativos a la izquierda.
Si la recta está en vertical colocamos los positivos arriba y los negativos abajo.

Representación de los números enteros sobre la recta numérica:

COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Por un lado tenemos los números positivos:

  • Éstos números, como hemos comentado antes, están representados de izquierda a derecha y su valor absoluto aumenta también en ese sentido.
  • El sentido de la ordenación coincide con el de su representación, es decir, de izquierda a derecha están ordenados de menor a mayor:

Con los números negativos hay que estar muy atentos, ya que su ordenación va en sentido contrario a la de su representación:

  • Conforme el valor absoluto de un número negativo va aumentando, se va convirtiendo más negativo. Esto quiere decir que cuanto más alto es el valor absoluto de un número negativo, más pequeños es. Entonces, el número que esté más a la izquierda es menor.

-8<-2

  • Por tanto, los números negativos también están ordenados de menor a mayor, de izquierda a derecha (su representación es de derecha a izquierda).

Si tenemos que comparar los números negativos y los positivos, ten en cuenta que la ordenación va siempre de izquierda a derecha, es decir, los números son menores cuanto más a la izquierda están y son mayores cuanto más a la derecha están. Por tanto:

  • Siempre los números negativos son menores que los números positivos.
  • Los números negativos son menores que cero.
  • Los números positivos son mayores que cero.

VALOR ABSOLUTO Y EL OPUESTO DE UN NÚMERO

Valor absoluto de un número entero: es el numero natural que se obtiene al quitarle el signo al número entero. Se representa con dos barras verticales.
|+a| = a |–a| = a
Ejemplos: |+6| = 6 |–8| = 8 

El valor absoluto de un número negativo es el número que queda cuando le quitamos el signo menos:

En los números positivos o números naturales, el valor absoluto coincide con el valor del número. Recuerda que habitualmente el signo + en los números positivos no se escribe:

Opuesto de un número entero:
Se obtiene cambiando el signo y conservando el valor absoluto.

El opuesto de +a es –a op(+a) = – (+a) = –a
El opuesto de –a es +a op(–a) = – (–a) = +a
El opuesto de 0 es 0

REGLA DE LOS SIGNOS CONSECUTIVOS.

Suma y resta de números enteros con signos consecutivos.
Adición de dos números enteros: se hace balance pensando que el numero positivo representa el dinero que se tiene y que el negativo representa el dinero que se debe. Si tienen el mismo signo se suman los valores absolutos y se deja el mismo signo. Si tienen distinto signo se restan los valores absolutos y se pone el signo del de mayor valor absoluto.

1º Se quitan los paréntesis teniendo en cuenta estas reglas:
+ (+a) = +a
+ (–a) = –a
– (+a) = –a
– (–a) = +a

2º Se resumen los números positivos en uno solo y se hace lo mismo con los negativos.

3º Se hace balance (positivo lo que se tiene y negativo lo que se debe).

Multiplicación y división de números enteros con signos consecutivos.
Para multiplicar o dividir números enteros se multiplican o dividen los valores absolutos y se aplica la regla de los signos:
(+a)・(+b) = +c (+a):(+b) = +d
(+a)・(–b) = –c (+a):(–b) = –d
(–a)・(+b) = –c (–a):(+b) = –d
(–a)・(–b) = +c (–a):(–b) = +d
El resultado es positivo si hay un numero par de factores negativos.
El resultado es negativo si hay un numero impar de factores negativos.

Operaciones combinadas de números enteros con signos consecutivos.

Jerarquía de operaciones: ¿qué hago primero?

  • Debemos resolver todas las cuentas que haya dentro de los paréntesis, corchetes, llaves del ejercicio.
  • Si hay varios paréntesis, podemos resolverlos a la vez.
  • Si hay paréntesis dentro de otros paréntesis, tenemos que resolver primero las operaciones combinadas de los paréntesis más interiores.
  • Resolvemos las potencias y raíces.
  • Resolvemos las multiplicaciones y divisiones.
  • En caso de que no tengas claro cuál se hace primero, el orden correcto es hacerlas de izquierda a derecha.
  • Por último, resolvemos las sumas y restas. Las restas donde el segundo número (el sustraendo) es un entero se resuelven mejor pasándolas a sumas (para restar, se suma al primer número el opuesto del segundo).

Ejemplos de operaciones combinadas con números enteros

Ejercicio resuelto: 2 – ( – 3) . 5 + 4 . (-7) =
En primer lugar, calculamos los productos: 2 – ( – 15) + (-28) =
Pasamos la resta a suma: 2 + ( + 15) + (-28) =
Sumamos el natural con el entero positivo: ( + 17) + (-28) =
Sumamos los dos enteros que nos quedan: – 11

Ejercicio resuelto: (- 1) . (- 12) – 12 . (- 3) : 20
De nuevo, ante la ausencia de operaciones dentro de paréntesis, comenzamos calculando las multiplicaciones y divisiones: (+ 12) – (- 36) + 20
Pasamos la resta a suma: (+ 12) + (+ 36) + 20
Y, finalmente, sumamos todos los números: + 68

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Videos Explicativos:

Números enteros. ¿Qué son los números enteros? por Sensei de las Mates
Operaciones combinadas de números enteros por el profesor Alex
Sumas y Restas de Números Enteros, por la profesora Susi
Representación gráfica de los números enteros.
Concepto y clase de números enteros

Fichas de Trabajo

Números Enteros – Ficha 1 – Anónimo (20 pgs)
Números Enteros – Ficha 2 – Anónimo (4 pgs)
Números Enteros – Ficha 3 – Del IES Ramón Giraldo (1 pg)
Suma de Números Enteros – Ficha 4 – Editorial SM (1 pg)
Operaciones combinadas de números enteros / fichas para imprimir (2 pgs)
Operaciones combinadas de números enteros – Refuerzo (1 pg)
Operaciones combinadas – Ejercicios de Repaso (4 pgs)

Software Educativo.

Los números Enteros – 1 (Genmagic) por Roger Rey y Fernando Romero.
Números Enteros en Mundoprimaria.
Números Enteros en Recursos Red XXI del Cfie de Ávila.(22 juegos)
Números Enteros de la Consejería de Educación de Extremadura – 2º de ESO
Suma de números enteros de GeoGebra

La potencia an representa el producto que tiene n veces el número a. El número a se llama base y el número n se llama exponente.

Potencia: es el producto de varios factores iguales.
Base: es el factor que se repite En la imagen corresponde al nº 5
Exponente: es el número de factores que forman la potencia, en la imagen
corresponde al nº 4.  
Ejemplos: 7 ・ 7 ・ 7 ・ 7 → base = 7 , exponente = 4 → se escribe 74
(–6)(–6)(–6) →base = –6 , exponente = 3 → se escribe (–6)3

Observa los valores de estas potencias:

Propiedades de las potencias:

Dicho en palabras, el resultado de una potencia vendría dado….

  • Si la base de una potencia es 1, el resultado es 1.
  • Si el exponente de una potencia es 1, el resultado es la base.
  • Si el exponente de una potencia es 0 (y la base no es 0), el resultado es 1
  • Si la base es positiva el resultado es positivo.
  • Si la base es negativa y el exponente es par el resultado es positivo.
  • Si la base es negativa y el exponente es impar el resultado es negativo.  

Cuando la base es negativa, el signo depende de la paridad del exponente (es decir, de si es par o impar):

  • Si el exponente es par, el resultado es positivo. Por ejemplo, (−3)2=9.
  • Si el exponente es impar, el resultado es negativo. Por ejemplo, (−2)5= −32 y (−3)3= −27.

Recuerda que cuando una base es negativa, siempre tenemos que escribirla entre paréntesis. Si no hay paréntesis, se considera que el signo negativo está delante de la potencia, no en la base, cambiando el signo del resultado de la potencia.
Ejemplos:

  • (−3)2=9 . La base de la potencia es −3−3.
  • −32=−(32) =9. La base de la potencia es 3.

Si el exponente es negativo:

La potencia de un número distinto de 0 elevado a -1 es igual a su inverso:

La potencia de un número distinto de 0 elevado al número negativo −n es el inverso del número elevado a n:  

POTENCIA DE BASE 10

• Toda potencia de base 10 es igual a la unidad 1 seguida de tantos ceros como unidades indica el exponente.   Ejemplos: 102 = 10 x 10 = 100 103 = 10 x 10 x 10 = 1.000 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100.000  
• Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más cómoda utilizando potencias de base 10.   Ejemplos: 120.000.000 = 12 x 10.000.000 = 12 x 107 200.000.000 = 2 x 100.000.000 = 2 x 108  

POTENCIAS CON BASE FRACCIONARIA

Para calcular el valor de una potencia cuya base es una fracción, se debe calcular el valor de la potencia del numerador y del denominador, es decir, se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente.  
Ejemplo:  

Una potencia fraccionaria de exponente negativo es igual a la inversa de la fracción elevada a exponente positivo.  
Ejemplo:  

OPERACIONES CON POTENCIAS

Producto de potencias con la misma base.
El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.  
Ejemplos: 23 x 22 x 24 = 23+2+4 = 29                  
43 x 42 x 46 = 43+2+6 = 411

Cociente de potencias con la misma base
El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes.  
Ejemplos: 26  : 23 = 26-3 = 23                  
48 : 42 = 48-2 = 46

POTENCIA DE UNA POTENCIA

La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.  
Ejemplos: (23)2 = 23 x 2 = 26                  
(44 )3 = 44 x 3 = 412  

POTENCIA DE UN PRODUCTO Y DE UN COCIENTE

La potencia de un producto de factores es igual al producto de las potencias de los factores:

La potencia de un cociente de números es igual al cociente de las potencias de los números:  

RAÍCES CUADRADAS

Raíz cuadrada de un numero a: es un numero b cuyo cuadrado es a. Se escribe a = b. Ejemplo: 25 = 5 porque 52 = 25.    

1- Radical, no es más que el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
2- Radicando, es el número al que se le obtendrá la raíz cuadrada.
3- Renglón de la raíz cuadrada, ahí se distinguirá el resultado.
4- Renglones auxiliares, nos ayudaran a resolver la raíz cuadrada.
5- Residuo, es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.

Pasos para obtener una raíz cuadrada  
Para resolver una raíz cuadrada seguiremos los pasos del siguiente ejemplo:

1 Si el radicando tiene más de dos cifras separamos las cifras en grupos de dos, empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda, en este caso el (8)

Nos hacemos la pregunta: ¿qué número elevado al cuadrado da 8? vemos que 8 no es un cuadrado perfecto, pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9

… entonces, tomaremos la raíz cuadrada del cuadrado perfecto menor al (8), es decir la raíz cuadrada del 4,quedando 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.  

3 El cuadrado de la raíz obtenida 2 (es decir 4) se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando (8)  

en otras palabras, el cuadrado de 2 es 4, se lo restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Bajamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado (492) la primera cifra a la derecha (2) y dividiendo lo que resta entre el doble de la raíz 2, es decir 2(2)=4.  

En otras palabras:  Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.
— Separamos la 1ª cifra a la derecha (2) y nos quedamos con 49.
— Dividimos 49 entre el doble de la raíz obtenida anteriormente 2 · 2 = 4
— Como el resultado de 49 : 4  es mayor que 9, tomamos como resultado al  9  
Nota: Tomamos 9 siempre que el resultado de la división (49:4) sea mayor que 9

5 En otra fila debajo de la raíz colocamos el doble de la misma (4). A continuación, se coloca el cociente que se obtenga (9) . Y luego el número obtenido (49) se multiplica por dicho cociente (9). Después, se resta (441) a la cantidad operable (492) del radicando.

  • Colocamos en otra fila el doble de la raíz, que en este caso es 4.
  • Colocamos el cociente obtenido (9) a continuación del 4, obteniendo así el número 49.
  • Multiplicamos 49 por 9 y obtenemos 441
  • Restamos 441 a 492 (que es la cantidad operable del resultado).  

Nota: Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7… hasta encontrar un valor inferior.

Nota: Si el resultado de hacer 49 · 9 hubiese sido mayor que 492, habríamos probado a hacer 49 · 8, 49 · 7,…

6 El cociente obtenido (9) es la segunda cifra de la raíz, quedando (29).

7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.

Como 5301 > 5124, probamos por 8.  

finalmente, subimos el 8 a la raíz.

y con esto terminamos el proceso.  

8 Prueba de la raíz cuadrada. Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:

y efectivamente los valores obtenidos  lo cumplen:

Ejemplos de raíces cuadradas

Resolver las raíces cuadradas de:  
1 Calcular

Aplicando el proceso anterior, obtenemos:

 terminando el proceso

2 Calcular

Veamos:

 3 Calcular

Veamos:

Webs consultadas: https://www.problemasyecuaciones.com/potencias; https://www.matesfacil.com/ ; https://www.ematematicas.net/ ; https://www.superprof.es/

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Videos Explicativos

Cómo resolver raíces cuadradas por la profesora Susi
La raíz cuadrada por Aprendopolis

Fichas de Trabajo:

Potencias – Anónimo – ficha 1 (1 pg)
Potencias – Indexnet – ficha 2 (4 pgs)
Potencias y raices- ficha 1 – Anónimo (10 pgs)
Potencias y raíces – ficha 2 . anónimo (2 pgs)
Potencias y raíces – ficha 3 – Ciencias puras.com (10 pgs)
Potencias y raices – ficha 4 – Dpto de Matemáticas de ESO (4 pgs)
Potencias y raíces – ficha 5 – Libros MareaVerde.Uk por Ana Lorente (16 pgs)
Potencias y raíces – ficha 6 – Por el IES Ramón Giraldo (1 pg)
Potencias y raíces – ficha 7 – por la Ed. SM (1 pg)
Potencias y raíces – ficha 8 – Anónimo (8 pgs)
Potencias y raíces – ficha 9 – por el IES Avempace (2 pgs)

Software Educativo

Las Potencias – Gobierno de Canarias.
Potencias y raíces por José Ortega Ruiz en JClic
Potencias y Raices cuadradas – Cuadernia.
Potencias de base 10, Del gobierpo de canarias
Practica con las potencias por el Gobierno de Canarias.org
Raiz cuadrada – nº menores de 100 (Genmagic) por Roger Rey y Fernando Romero.