Unidad 10: áreas y perímetros

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El área de una figura corresponde a la medida de la superficie que dicha figura ocupa. El cálculo del área se realiza de forma indirecta, es decir, hay que recurrir a diferentes fórmulas matemáticas para conocerla, no podemos medirla.
El concepto del área de un polígono es una medida de la cantidad del espacio que encierra el polígono. Las unidades para medir el área se definen en base al área que encierra un cuadrado cuya medida de los lados es una unidad. Decimos entonces que el área del cuadrado cuyos lados miden uno es de una unidad cuadrada. De esta manera podemos medir el área en base a la cantidad de unidades cuadradas contenidas dentro del polígono.

Unidades de superficie

Para medir superficies se toma como unidad la superficie que corresponde a un cuadrado de un metro de lado. A esta unidad se le denomina metro cuadrado y se simboliza m2.
En el gráfico se puede ver que mientras que un metro es igual a diez decímetros, un metro cuadrado equivale a cien centímetros cuadrados.
Las unidades de superficie varían de 100 en 100.

• Para pasar de una unidad a su inmediata posterior dividiremos por 100.
• Para pasar de una unidad a su inmediata anterior multiplicaremos por 100.

Área de los Cuadriláteros

El cálculo del área de un cuadrilátero, en el caso de rectángulos, cuadrados y romboides, es muy sencilla.

Área de un rectángulo.

Se obtiene multiplicando la base por la altura: A = base x altura.

Área de un cuadrado.

A = lado x lado = lado2.

Área de un romboide.

Se obtiene a partir del área del rectángulo, multiplicando la base por la altura del romboide (no por el oro lado).              A = base x altura.

Área de un rombo.

A partir de un rombo se puede construir un rectángulo como se puede observar en el gráfico de la izquierda. La base coincide con una de las diagonales y la altura con lamitad de la otra:

Área de un trapecio.

Si se coloca el mismo trapecio invertido como se muestra en la figura de la izquierda, se obtiene un romboide. El área de este romboide es el doble del área del trapecio. La base del romboide es la suma de las bases de los trapecios y la altura del romboide coincide con la altura del trapecio.

Área del Triángulo

Para calcular el área de un triángulo, se coloca el triángulo invertido como se muestra en la figura de la derecha, obteniendo así un romboide de área doble del triángulo, la misma base y la misma altura.

Área de un polígono regular

Para calcular el área de un polígono regular cualquiera se divide en triángulos uniendo el centro con cada uno de los vértices. La altura de cada uno de los triángulos coincide con la apotema del polígono. Se calcula el área de uno de estos triángulos y se multiplica por el número de triángulos que se han formado.

Área del circulo.

El área de un círculo se puede hallar considerándolo como un polígono regular de «muchos» lados, en el cual el apotema coincide con el radio. Por ello utilizaremos la siguiente fórmula que nos da el área a partir del radio.

Área = π·R2

Área del sector circular y de la corona circular

El área de un sector circular de amplitud n, se calcula utilizando la proporcionalidad directa, con lo que resulta la fórmula:

EJEMPLO

Para calcular el área A sector del sector de 126º de un círculo de radio 2,5 cm, obtenemos que el área del sector es

Como el área del círculo es Acirc = π ⋅ 2,52 ya podemos conocer el área del sector:

Para calcular el área de la corona circular se restan las áreas de las circunferencias mayor y menor:

donde R y r son los radios mayor y menor de la corona.

EJEMPLO:

Para calcular el área Acorona de la corona circular de radio mayor 3,5 y radio menor 1,75 calcularemos el área de cada una de las dos circunferencias:

Longitud de la circunferencia

Es una línea curva cerrada que equidistan todos sus puntos del centro. La longitud de una circunferencia viene dado por l=2πr donde r es el radio de la circunferencia.

Donde:
Centro: punto situado a igual distancia de todos los puntos de la circunferencia.
Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
Cuerda: segmento que une los dos puntos de corte de una recta con la circunferencia.
Diámetro: es una cuerda pero que pasa por el centro de la circunferencia. Es el doble de un radio.
Ángulo central: es un ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia, y sus lados lo forman dos radios.
Arco: es trozo de una circunferencia.

Longitud de un arco de la circunferencia

Un arco es la porción de una circunferencia comprendida entre los radios.

Radián: es un ángulo central, en el cual la longitud de su arco correspondiente, es igual a la longitud del radio.
En cualquier circunferencia siempre hay 2π radianes.
Grados Radianes
360º ——————-> 2π
180º ——————-> X

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FICHAS DE TRABAJO

Ficha 1 – Polígonos, perímetros y áreas de Cidead (1 pg)
Ficha 2 – La circunferencia y el círculo de Cidead (1 pg)
Ficha 3 – VI – Calcula las áreas – Anónimo (2 pgs)
Ficha 4 – Encuentra el área – Anónimo (1 pg)

VIDEOS EDUCATIVOS

Áreas de figuras planas por Sensei de las Mates
Áreas y perímetros superfacil por Daniel Carreon
Areas y perímetros por Francisco Morales
Área de circulo por Profe Alex
Cómo calcular el área de un triangulo por respuestasenvideo

SOFTWARE DE PRÁCTICAS:

Áreas y perímetros por Atenex
Áreas y perímetros en polígonos por Manuel Caballero Pérez y Raquel Guinda Polo en la Consejería de Educación y Universidades del Gob. de Canarias (Descargar)
Área y perímetro en los polígonos por Jose Antonio Monzón González del Gob. de Canarias (Descargar)
El área por Cuadernia.
El área de los diferentes polígonos por Cuadernia
La circunferencia y el círculo por Cuadernia.
Los polígonos: triángulos y cuadriláteros por Cuadernia
Unidad 12: Áreas y Perímetros de Anaya Primaria 6º Curso – Tercer Ciclo.
Polígonos, perímetros y áreas de Cidead.

Web y Documentos Consultados:
* Cidead: Matemáticas 1º de ESO – Tema 9: Polígonos, áreas y perímetros.
* Apuntes de Geometría 1º de ESO de Colegio del Mundo.
* Figuras Bidimensionales y Tridimensionales K – 3ro por el profesor: Esteban Hernández
* Geometría – Matemáticas del día a día 1.

El perímetro de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados. Es por tanto la medida del contorno de una figura. Si mido los lados de un polígono y los sumo, obtengo el perímetro (P).

Perímetro del Triángulo

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

Ejemplo 1:
Dado un triangulo de lados a = 5 cm, b = 7cm y c= 7 cm. Hallemos pues su perímetro:

P =a + b +c = 5cm + 7cm +7cm = 19 cm

Ejemplo 2:
El perímetro del triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 es 12.

Perímetro del Cuadrado

El perímetro es la suma de todos sus lados. Por tanto, en cuadrado es la suma de sus cuatro lados.

Ejemplo:
si el lado mide 12 cm. El perímetro es:

Perímetro = 12 cm +12cm +12cm +12 cm = 48 cm

Ejemplo:
Se quiere cercar un terreno de 3 600 metros cuadrados. Sabiendo que dicho terreno tiene forma cuadrada. Indicamos los dos lados que el perímetro es la extensión del terreno:
   P = 4L  à  3.600 m2   à  4 L = 3.600 ;    L = 3600 / 4 = 400 m de lado.

Perímetro del Rectángulo                        

El perímetro de un rectángulo es la suma de sus cuatro lados.
Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su perímetro será el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir, a y b).

Ejemplo:
La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula su perímetro.
Perímetro = 2×5 + 2×2,5 = 10 + 5 = 15 m.

Perímetro de un Paralelogramo.

Los paralelogramos son figuras planas de 4 lados. Hay varios tipos. La formula del perímetro de cualquiera de dichos tipos es el siguiente:

PERÍMETRO
P = 2· b + 2· c =
= 2 (b + c)

Perímetro del Rombo

El rombo es un paralelogramo (que tiene los cuatro lados iguales) por tanto su perímetro puede calcularse como los de un paralelogramo. El perímetro del rombo es cuatro veces el valor del lado. Puesto que el valor de las diagonales y el lado, están relacionados.

P = 4· L

Ejemplo: 1.- La diagonal mayor de un rombo mide 5m, y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro del rombo.
Debes de utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la medida de sus lados.

Perímetro del Romboide

El perímetro de un romboide es la suma de sus cuatro lados. Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos, su perímetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b).

Ejercicio:

Supongamos que tenemos un romboide siendo sus lados conocidos e iguales dos a dos, donde dos son de longitud a=4 cm y los otros dos b=8 cm.
Su perímetro será el doble de la suma de los dos lados iguales:

Perímetro del Trapecio

El perímetro del trapecio es igual a la suma de los valores de sus cuatro lados. Por lo que la fórmula queda así:

Ejemplo:

Perímetro de un polígono regular

Es la suma de los valores de sus lados. Cuando el polígono es regular, como todos sus lados son iguales, el perímetro se obtiene multiplicando el valor de un lado por el número de lados que tiene el polígono.


Perímetro del sector circular y de la corona circular

El perímetro de un sector circular es la suma de los radios RR y de la longitud del arco LL: P=2⋅R+LP=2⋅R+L

Recordatorio: la longitud del arco de circunferencia con ángulo α∘ en grados es

Ejercicios:
Problema 1

Calcular el área del sector circular de una circunferencia de radio 1 metro y ángulo α=30∘α=30∘
β=3π/4 rad
¿Calcular el perímetro de los sectores circulares del problema anterior?
Si el ángulo es en grados, la longitud de arco es

Por tanto, la longitud del arco del primer sector es

Así que el perímetro del primer sector circular es

Si el ángulo es en radianes, la longitud de arco es

Por tanto, la longitud del arco del segundo sector es

Así que el perímetro del segundo sector circular es

Perímetro de la circunferencia

El perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida. De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud (o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio r. La expresión es la siguiente:          P=2⋅π⋅r  

Ejemplo:
Tenemos un círculo de 5 cm de diámetro, y por lo tanto de 2,5 cm de radio, vamos a aplicar estos datos a nuestras fórmulas.
En la primera utilizaremos el diámetro (d): P =π x d P = 3.1416 x 5 P = 15,708 cm   Si usamos el radio (r): P = 2π x r P = 2(3.1416) x 2.5 P = 6.2832 x 2.5 P = 15,708 cm

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FICHAS DE TRABAJO

Ficha 1 – Encuentra el perímetro – Anónimo (2 pgs)
Ficha 2 – Geometría. Perímetro de Matemáticas del día a día 1
Ficha 3 – Calcula el perímetro de cada polígono – Anónimo (7 pgs)
Ficha 4 – 3.1. Perímetro – Anónimo (2 pgs)
Ficha 5 – Perímetro y áreas de figuras geométricas – Anónimo (6 pgs)

VIDEOS EXPLICATIVOS

Áreas y perímetros en cuadriláteros por Tuto mate.
Areas y perímetros superfácil por Daniel Carreon
Calculando áreas por un punto circular.   
Cómo calcular el perímetro de las figuras planas por Susi profe.
Cómo calcular el área y perímetro de un cuadrado
El perímetro de un triángulo por Tutoriales de Arquitectura.
El perímetro de un circulo superfacil por Daniel Carreon
Formulas para hallar el perímetro y el área de las figuras planas por Educando TV.

SOFTWARE DE PRÁCTICAS

(Materiales citados anteriormente en el apartado de Áreas)

Webs consultadas:
* Cidead: Matemáticas 1º de ESO
– Tema 9: Polígonos, áreas y perímetros.
* Geometría – Matemáticas del día a día 1.
* Superprofe.es
* Saganku Maths