Unidad 1 (3º) – Numeros naturales y fracciones.

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Necesidad de números enteros 
En la vida real hay situaciones en las que los números naturales no son suficientes. 
Por ejemplo: si tienes 10 euros y debes 15 euros ¿De cuánto dispones? 

Los números enteros son una ampliación de los naturales:
Los naturales se consideran enteros positivos (se escriben con el signo +).
Los enteros negativos van precedidos del signo -.
El cero es un entero pero no es ni negativo ni positivo.

Representación en la recta numérica 
Todos los números enteros se representan en una recta numérica ordenados de menor a mayor.

Valor absoluto de un número entero
¿A qué distancia se encuentran el -3 y el 0?
¿A qué distancia se encuentran el +7 y el 0?
¿A qué distancia se encuentran el -5 y el 0?
El valor absoluto de un número entero es la distancia que le separa del cero.
Se escribe entre dos barras |   | y es el número sin su signo:               
            |+a| = a      |-a| =  a
El valor absoluto es una distancia por lo que no puede ser negativo.

Comparar y Ordenar números enteros.

Opuesto de un número entero 
Lo contrario de deber es tener.
Lo contrario de 4º C es 4º bajo cero.
Lo contrario de 3 m de altura es 3 m bajo el nivel del mar etc.   
El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero.
Se escribe así:
                    Op(+a) =  -a
                    Op(-a) =  +a

Suma de dos enteros 
¿Qué significan las siguientes expresiones?

  • +6 +3 = +9
    significa que tienes 6 y te dan 3  =>  tienes 9
  • -7 -5 =  -12
    significa que debes 7 y gastas 5  =>  acumulas una deuda de 12
  • -6 +8 =  +2
    significa que tienes 8 pero debes 6  =>  tienes 2 El dinero supera las deudas
  • -5 +3 = -2
    significa que debes 5 y tienes 3 =>  debes 2 Las deudas superan el dinero.

Suma de tres o más enteros 
Para sumar tres ó más enteros tenemos dos métodos:
1)  agrupar los dos primeros sumandos y sumar al resultado el tercer sumando
          +6 -4 +3 = +2 +3 = +5
     En el caso de 4 sumandos se puede agrupar de  dos en dos:             +6 -4   +3 -2 =  +2   +1  = +3
2)  sumar los positivos por un lado (tener) y los negativos (deber) por el otro y finalmente
     hallar el resultado deber tener
         -7 +8 -5 =    -12   +8   = -4   deber tener        +6 -4 +3 -2 = -6   +9  = +3
Expresiones sencillas con paréntesis
El signo más (+) tiene dos significados: puede indicar suma y puede indicar que el nº es positivo.
El signo menos (-) tiene dos significados: puede indicar resta y puede indicar que el nº es negativo. 

  • ¿Cómo escribimos «sumar al  5 el nº -6»?  No es correcto escribir 5 + -6 , lo correcto es 5+(-6)
  • ¿Cómo escribir «restar al 6 el nº -8»? No es correcto 6 – -8,  lo correcto es 6 – (-8)

Es decir, no podemos escribir dos signos seguidos, debemos separarlos mediante un paréntesis.
+ (+a) = +a              – (+a) = – a
+ (- a) = – a              – (- a) = +a

Suma y diferencia de enteros con paréntesis 
Cuando se presenten ejercicios del tipo:

  • ( -5 )  +  ( -2 ) =
  • ( +3 )  –  ( -7 ) = 

Deberemos 
1º.- Eliminar los paréntesis 
2º.- Operar adecuadamente los nº resultantes 
Recuerda que :  + (+a) = +a       – (+a) = -a
                      + (-a) = -a        – (-a) = +a
Lo anterior es válido si hay tres ó más enteros.

Producto de enteros
Para hallar el producto de dos números enteros:

  • se multiplican los dos nº sin signo
  • aplicamos la regla de los signos

Si los dos nº  son del mismo signo el producto es positivo. Si tienen distinto signo el producto es negativo.

División de enteros

Fichas de Trabajo:
1. Números enteros de Alfonso González del IES Fernando de Mena (12 págs)
2. Números enteros – ampliación. Anónimo. Ejercicios resueltos (18 págs)
3. Colección de Actividades de Masmates.com (Ejercicios resueltos) (10 págs)
4. Números enteros C de Masmates (Ejercicios resueltos) (10 pgs)
5. Números enteros, ejercicios. Anónimo (2 págs)
6. Números enteros. Operaciones combinadas del IES Barro. Cursos 2016/17. (1 pág)
7. Números enteros. Anónimo (3 págs)
8. Números enteros, naturales y decimales de AnayaESO (14 págs)
9. Números Racionales de Santillana Educación (13 págs)
10. Los números reales. Potencias. en la web quieroaprobar.es (Fichas, controles, videos, documentos de teoría y exámenes de 3º de ESO)

Documentos Teóricos sobre el tema:
1. Esquema de números enteros (1 pág)
2. Tema 1: Los Números Racionales de Ciede@d (22 págs)

Fichas de control y evaluación:
1. Control de números racionales (3 págs)
2. Examen de Números enteros (4 págs)

SOFTWARE PARA PRACTICAR
Actividades con números racionales I de Inocente De Marchi del IES Albuhaira Mallorca (Baleares) para el Rincón del Clic.
Los números Enteros – 1 (Genmagic-Descargar) por Roger Rey y Fernando Romero.
Números Enteros en Recursos Red XXI del Cfie de Ávila.(22 juegos)
Los números enteros por Virgilio Pedraz Hernández para Rincón del Clic.

VIDEOS
Números reales por Academia JAF
Números Enteros: Opuesto de un número (3º de ESO) `por Childtopia.
Números Enteros: El valor absoluto de un número (3º de ESO) `por Childtopia.
Números Enteros: Operaciones combinadas (3º de ESO) `por Childtopia.
Los números Racionales: Tema 1. por El Profe de Mates.

TEMA 1.2. FRACCIONES

Una fracción está compuesta por un numerador y un denominador.
Denominador → Partes en que se divide la unidad.
Numerador ⎯→ Partes que tomamos de la unidad.

Dos fracciones son equivalentes si se cumple que a ⋅ c = b ⋅ d.

• Para obtener una fracción equivalente a otra fracción dada multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por un número distinto de cero. Este método se llama amplificación.
• Observa que podemos obtener tantas fracciones amplificadas como queramos.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar una fracción es encontrar otra fracción equivalente a ella dividiendo numerador y denominador por un factor común.
• Observa que el proceso, al contrario que en la amplificación, no se puede realizar indefinidamente.
Se termina al encontrar una fracción que no se puede simplificar. Esta fracción se llama fracción irreducible.

Características de las fracciones:
• Fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar.
• Para comparar, sumar y/o restar fracciones, estas deben tener igual denominador.
• El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y con denominador, el producto de los denominadores.
• Para dividir fracciones se realiza el producto cruzado de los términos de cada una de ellas.
• El conjunto de los números racionales lo forman los números enteros y los números fraccionarios.

Sumas y restas
SUMAS: Si las fracciones tienen el mismo denominador se deja ese denominador y se suman los numeradores.

Si no tienen el mismo denominador, se reducen a denominador común y se aplica lo anterior:

RESTAS: Se suma la primera con la opuesta de la segunda.

MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES
Productos y cocientes 
PRODUCTOS: Se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores.

La inversa de una fracción se obtiene intercambiando el numerador con el denominador, por ejemplo, la inversa de 2/3 es 3/2. Si el numerador es cero, la fracción no tiene inversa.
 
COCIENTES: Se multiplica la primera por la inversa de la segunda.

Operaciones combinadas
Cuando se van a efectuar operaciones combinadas (con fracciones u otro tipo de números) hay que tener en cuenta las siguientes reglas de prioridad:

  • Si no hay paréntesis:
    • Se efectúan en primer lugar todos los productos y cocientes de izquierda a derecha.
    • Con los resultados obtenidos se hacen las sumas y restas, también de izquierda a derecha.
  • Si hay paréntesis:
    • Se efectúan primero las operaciones de los paréntesis de acuerdo con las reglas anteriores.
    • Si hay paréntesis anidados se van haciendo las operaciones del interior al exterior.
    • Debe tenerse en cuenta que los paréntesis pueden estar implícitos, por ejemplo, si en el numerador o en el denominador de una fracción hay operaciones, debe considerarse que están dentro de un paréntesis aunque éste no se haya escrito.

ACTIVIDADES
Fichas de Trabajo:
Ejercicios de Fracciones de 3º de ESO por Alfonso González del I.E.S. Ferando de Mena – 3º ESO. (4 págs)
Ejercicios de Fracciones – Anónimo (2 págs)
Fracciones – Anónimo (20 págs)
Fracciones, Repaso y apoyo por Santillana Educación. (20 págs)
Números enteros y fracciones. Anónimo (24 págs)
Números racionales: fracciones – Anónimo (7 págs)
Operaciones Combinadas con Fracciones por Alfonso González del I.E.S. Ferando de Mena – 3º ESO. (4 págs)
Operaciones Combinadas con Fracciones II por Alfonso González del I.E.S. Ferando de Mena – 3º ESO. (2 págs)
Problemas con fracciones 1 – Anónimo (3 págs)
Problemas con fracciones 2 – Anónimo (Con solución – 2 págs)
Problemas con fracciones 3 – Anónimo (3 págs)
Problemas con fracciones 4 – Resueltos paso a paso. Ed. SM – (5 págs)
Unidad 1: Fracciones y Decimales de Anaya ESO – 3º ESO Apl. (26 págs)
Unidad 2: Fracciones de Anaya ESO – 3º ESO Apl (23 págs)

Controles y Exámenes:
Control de Fracciones – Anónimo (1 pág)
Examen 1 de Fracciones de Pedro Castro Ortega en lasmatematicas.eu (6 págs)
Examen 2 de Fracciones de Pedro Castro Ortega en lasmatematicas.eu (3 págs)
Examen 3 de Fracciones de Pedro Castro Ortega en lasmatematicas.eu (2 págs)

PARA PRACTICAR
Números de Benítez Benítez, M., Sosa Gil, F. y González García, F. para la Consejería de Educación y Ciencia de Extremadura. Contenido: nº enteros, fracciones, potencias y juegos.
Fracciones por Eduardo Timón Moliner del IES Juan de Herrera San Lorenzo del Escorial (Madrid) para Rincón del Clic.

VIDEOS
Operaciones combinadas con fracciones – 3º de ESO por Despeja2 Profesor de matemáticas.
Problemas de fracciones – 3º de ESO (Ejercicios y problemas resueltos)

Web Consultadas:
https://www.matematicasonline.es/terceroeso-apli/mat3esoapli-1.html
http://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/3Aeso.htm
http://www.yoquieroaprobar.es/
https://www.alfonsogonzalez.es/asignaturas/3_eso/ejercicios_3_eso_propuestos.php