Unidad 2 (3º) – Números Decimales y Notación Científica

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2.1. Números Decimales

Estructura de los números decimales.

Elementos de un número decimal

Un número decimal tiene una parte entera y una parte decimal, separadas por la coma decimal. Por ejemplo, observa el número 78,103.
7 y 8 son sus cifras enteras.
1, 0 y 3 son sus cifras decimales.
78,103 es un decimal exacto, pues tiene un número finito de cifras decimales

Suma y resta de números decimales.

Para sumar decimales debes situarlos unos debajo de otros. Deben coincidir la coma decimal y también las unidades de igual orden. Después suma como si se tratara de números naturales, y coloca la coma en el mismo lugar en que estaba. Veamos un ejemplo:

La resta de decimales también puedes hacerla situando un número encima del otro. Si en el minuendo hay menos cifras que en el sustraendo, puedes añadir ceros a la derecha del minuendo. También puedes operar directamente sin poner los ceros. Aquí tienes un ejemplo:

Multiplicación y División de números decimales.

Para multiplicar decimales opera como si la coma decimal no estuviera. Cuando termines, pon la coma para que desde la derecha, el resultado tenga tantos decimales como la suma de los factores que has multiplicado.

Al dividir decimales debes distinguir dos casos:
— Si sólo el dividendo tiene decimales, divide normalmente. Al llegar a la coma del dividendo, pon una coma en el cociente.

— Si el divisor y el dividendo tienen decimales, quita los decimales del divisor. Multiplica dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenía el divisor. Después actúa como en el caso anterior.

Documento Teórico:
Los números decimales (6 pgs)

Fichas de Trabajo:
1 – Operaciones con números decimales (6 pgs) – Matemáticas Aplicadas de 3º del IES Barro (Curso 2016/17).
2 – Refuerzo de Decimales (1 pg) de Intergranada.com, autor: Rafael González Medina.
3 – Fracciones y Decimales (4 pgs) de la Ed. Anaya.
4 – Reconocer los tipos de números decimales (9 pgs) de Matemáticas 3º de ESO – Anaya Educación.
5 – Problemas con números decimales (2 pgs) de Intergranada.com, autor: Rafael González Medina.

Videos Explicativos:
Multiplicación con decimales superfácil de Daniel Carreon
Suma y resta de números decimales de La Eduteca.

Para Practicar:
Matemáticas con decimales en LIM
Multiplicador de decimales
Operaciones con decimales

2.2. Potencias.

Definición

Sea a un número racional distinto de cero y n un número entero. Se llama potencia de base a y exponente n al número:

Cálculo de potencias 

Al realizar potencias de números enteros   tenemos los siguientes casos:
1) (+a)n  es nº positivo
2) (-a)par es un nº positivo
3) (-a)impar  es un nº  negativo

Propiedades:

Operaciones con potencias

Cuando se van a efectuar operaciones combinadas y entre esas operaciones hay potencias, a las reglas de prioridad que conocíamos hay que añadir una:

  • Se efectúan en primer lugar todas las potencias de izquierda a derecha.
  • A continuación, todos los productos y cocientes de izquierda a derecha.
  • Con los resultados obtenidos se hacen las sumas y restas, también de izquierda a derecha.
  • Las prioridades anteriores pueden alterarse con paréntesis, o también si pueden aplicarse algunas de las propiedades vistas en la página anterior (productos o cocientes de potencias de igual base).

Raíz cuadrada de un número entero

Si el radicando es positivo hay dos raíces:
              √49 =  7    porque     7= 49
              √49 = -7    porque (-7)= 49
Se escribe √49 = ±7

  • Si el radicando es negativo no hay raíz:√-49 =  b      b2   = -49  no es posible
    porque b2   es positivo y -49 es negativo.

Operaciones combinadas

Jerarquía de operaciones
Observa que hay dos tipos de paréntesis:

  • Tipo I: en ellos hay operaciones.
    Por ejemplo: 3+4-(2+3·5) =
  • Tipo II: sirven para separar signos.
    Ejemplo: -3-(-4)+(-2) =

Los primeros deben operarse en primer lugar y los segundos deben eliminarse en el momento oportuno.
Para realizar operaciones con números enteros se ha de respetar el siguiente orden :

    1º) operar los paréntesis (tipo I)
    2º) realizar las multiplicaciones y las divisiones
    3º) realizar las sumas y las restas.

Fichas de Trabajo:
1 – Ejercicios de potencias de 3º ESO – Ficha 2: Exponente Z (2 pgs) por Alfonso González del IES Fernando de Mena.
2 – Ejercicios de potencias de 3º ESO – Ficha 3: Operaciones con potencias de exponente Z (2 pgs) por Alfonso González del IES Fernando de Mena.
3 – Realizar operaciones con potencias. Repaso y Apoyo (13 pags). «Día a día en el Aula» de Santillana Educación.
4 – Potencias de exponente IN (3 pgs) por Alfonso González del IES Fernando de Mena.
5 – Potencias de 10 (2 pgs) del IES Barro.
6 – Calculo de potencias (8 pgs) Anónimo.
7 – Potencias (8 pgs) – Matemáticas Aplicadas del IES Barro.

Videos Explicativos:
La raíz cuadrada por Aprendopolis

Para practicar:
Potencias y raíces por José Ortega Ruiz en JClic
Potencias y Raices cuadradas – Cuadernia.
Potencias de base 10, Del gobierpo de canarias
Practica con las potencias por el Gobierno de Canarias.org

2.3. Notación Científica.

Productos y cocientes por potencias de 10

Un número puesto en notación científica consta de:
• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unidades).
• El resto de las cifras significativas, si las hay, puestas como parte decimal.
• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.

Si n es positivo, el número N es “grande”.
Y si n es negativo, entonces N es “pequeño”.

Sea n un número entero positivo. Éstas son las reglas para multiplicar o dividir un número racional por 10n:

  • Multiplicar por 10n (equivale a dividir por 10-n)
    • Si el número es entero se añaden a la derecha tantos ceros como indique el exponente.
    • Si no es entero se desplaza la coma hacia la derecha tanto como indique el exponente, completando con ceros si es preciso.
  • Dividir por 10n (equivale a multiplicar por 10-n)

Se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares como indique el exponente añadiendo ceros si fuera necesario.

Números muy grandes o muy pequeños
Se dice que un número está escrito en notación científica si tiene el siguiente aspecto:c0,c1c2..cp·10n
donde c0 es una cifra distinta de cero, c1, c2, …, cp son cifras decimales y n es un número entero (positivo, cero o negativo). Se dice que n es el orden de magnitud del número.
El nombre es debido a que este tipo de números aparecen con frecuencia en el ámbito de la ciencia.

Operaciones en notación científica
Los números escritos en notación científica sólo suelen presentarse en productos y/o cocientes. Consideremos dos números de este tipo:
x=a·10n     y=b·10p
entonces,
x·y=a·b·10n+p     x/y=a/b·10n-p
Si a·b o a/b no estuviera comprendido entre 1 y 10 (estrictamente menor que 10), debe pasarse a forma científica como se explica en la escena adjunta y multiplicar la nueva potencia de 10 que aparece por la obtenida con las fórmulas anteriores.

Suma y resta en notación científica.
– Para sumar o restar números en notación científica es necesario que todas las potencias de 10 tengan el mismo exponente en todos los sumandos. Cuando esto es así se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma potencia.
Si los exponentes de las potencias de 10 no son iguales hay que transformar los números para igualarlos haciendo la operación inversa a la realizada en el apartado anterior,

Multiplicación y división en notación científica.
Para multiplicar o dividir números en notación científica, se multiplican o se dividen, por un lado, los coeficientes y por otro las potencias de 10. Después pasamos el resultado a notación científica.

Fichas de Trabajo:
1 – Ficha 5 – Notación científica (2 pgs) por Alfonso González del IES Fernando de Mena.
2 – Notación científica (2 pgs) Anónimo.
3 – Notación científica (1 pgs) Anónimo.
4 – Examen de Notación científica (23 pgs) de la escuelaencasa.com
5 – Ejercicios de notación científica (1 pgs) por Raul González Medina en selectividad.intergranada.com
6 – Notación científica. operaciones (7 pgs) por E. Zamora, C. Barrilero, M. Álvarez.

Presentaciones Explicativas:
.- Cálculos en notación científica. Anónimo (12 diapositivas).

SOFTWARE PARA PRACTICAR
Potencias de 10. Notación científica de 4º ESO (potencias y raices), en Educarex.

VIDEOS
Introducción a la notación científica por el profe Alex.
Escribir números en notación científica por el profe Alex
Notación científica: Suma y resta por Susi profe
Notación científica: multiplicación y división por Virtual preparatoria.

Web consultadas:
https://www.matematicasonline.es/terceroeso-apli/mat3esoapli-1.html
http://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/3Aeso.htm
http://www.yoquieroaprobar.es/
https://www.alfonsogonzalez.es/asignaturas/3_eso/ejercicios_3_eso_propuestos.php